# Derivada de ln x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de ln x es 1/x. Demostración a partir de eʸ = x, la regla de la cadena para ln(u), una gráfica y ejemplos resueltos como ln(2x) y ln(x²+1).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-ln-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{x}$ para $x > 0$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\ln u = \dfrac{u'}{u}$
- **Con valor absoluto:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \dfrac{1}{x}$ para $x \ne 0$
- **Dominio de ln x:** $x > 0$
- **Versión para integrales:** $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$.
- Con la regla de la cadena, la derivada de $\ln u$ es $\frac{u'}{u}$: la derivada del interior entre el interior.
- Los múltiplos constantes dentro del logaritmo desaparecen: $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, porque $\ln 5x = \ln 5 + \ln x$.
- La misma fórmula vale para $\ln\lvert x\rvert$, y por eso $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$.

La **derivada de $\ln x$ es $\dfrac{1}{x}$**. Es uno de los resultados más usados del cálculo, y cubre un hueco que deja la regla de la potencia: ninguna potencia de $x$ tiene $\frac{1}{x}$ como derivada, pero el logaritmo natural sí.

$$\frac{d}{dx}\,\ln x = \frac{1}{x}, \qquad x > 0$$

## Gráfica de ln x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = ln x y de su derivada y = 1/x'
caption: 'La pendiente de $\ln x$ es grande cerca de $x = 0$ y se reduce a medida que $x$ crece. En $x = 1$ la pendiente vale exactamente $1$, lo que coincide con $\frac{1}{1} = 1$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
    domain: [0.02, 6]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.2, 6]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [1, 1, 'pendiente 1']
```

Como $\frac{1}{x}$ siempre es positiva para $x > 0$, el logaritmo natural siempre es creciente. Y como $\frac{1}{x}$ se hace más pequeña a medida que $x$ crece, $\ln x$ sube cada vez más despacio, y por eso es cóncava hacia abajo.

## Demostración de que la derivada de ln x es 1/x

Sea $y = \ln x$. Por la definición del logaritmo natural, esto significa

$$e^y = x$$

Deriva ambos lados respecto a $x$, usando [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) en el lado izquierdo:

$$e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

El último paso vuelve a usar $e^y = x$. La demostración se apoya en que la derivada de $e^x$ es $e^x$, lo que puedes leer en la página de la [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x).

## La versión con la regla de la cadena: derivada de ln(u)

La mayoría de los logaritmos que te encontrarás tienen dentro algo distinto de $x$. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\,\ln u = \frac{1}{u}\cdot u' = \frac{u'}{u}$$

En palabras: **la derivada del interior, entre el interior**.

| Función | Interior $u$ | Derivada $\frac{u'}{u}$ |
| --- | --- | --- |
| $\ln(2x)$ | $2x$ | $\frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$ |
| $\ln(x^2 + 1)$ | $x^2 + 1$ | $\frac{2x}{x^2 + 1}$ |
| $\ln(\sin x)$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ |
| $\ln(e^x + 3)$ | $e^x + 3$ | $\frac{e^x}{e^x + 3}$ |
| $\ln(\ln x)$ | $\ln x$ | $\frac{1}{x\ln x}$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un producto.** Deriva $f(x) = x^3 \ln x$ con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2\ln x + x^2$$

**Ejemplo 2: simplifica primero.** Deriva $g(x) = \ln\!\left(\dfrac{x^4}{x + 1}\right)$. Las propiedades de los logaritmos convierten el cociente en una diferencia:

$$g(x) = 4\ln x - \ln(x + 1) \quad\Longrightarrow\quad g'(x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{x + 1}$$

Es mucho más rápido que usar la regla del cociente dentro de la regla de la cadena. Separar los logaritmos antes de derivar es la idea en la que se basa la [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation).

**Ejemplo 3: una recta tangente.** La tangente a $y = \ln x$ en $x = e$ tiene pendiente $\frac{1}{e}$ y pasa por $(e, 1)$:

$$y - 1 = \frac{1}{e}(x - e) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{e}$$

Esta recta pasa por el origen.

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{1}{u}$ y detenerse.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1)$ no es $\frac{1}{x^2+1}$. Multiplica por la derivada del interior, $2x$.
2. **Tratar $\ln(x^2)$ y $(\ln x)^2$ como lo mismo.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2) = \frac{2}{x}$, pero $\frac{d}{dx}(\ln x)^2 = \frac{2\ln x}{x}$.
3. **Usar $\frac{1}{x}$ para otras bases.** $\frac{d}{dx}\log_{10} x$ necesita el factor extra $\frac{1}{\ln 10}$. Consulta la [derivada de log x](/derivatives/log-x).
4. **Olvidar el dominio.** $\ln x$ solo existe para $x > 0$. Para valores negativos usa $\ln\lvert x\rvert$, que tiene la misma derivada $\frac{1}{x}$.

Para saber más sobre logaritmos y exponenciales juntos, lee [derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), o consulta la página de la función [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de ln x?

La derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, para todo $x > 0$.

### ¿Cuál es la derivada de ln(2x)?

Es $\frac{1}{x}$. Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. También se ve a partir de $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, donde $\ln 2$ es una constante.

### ¿Cuál es la derivada de ln(x²)?

Es $\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$. También puedes reescribir primero $\ln(x^2) = 2\ln x$ y obtener $\frac{2}{x}$ directamente.

### ¿La derivada de ln x es la misma que la de log x?

Solo para el logaritmo natural. Para un logaritmo en base 10, $\frac{d}{dx}\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10}$. En general $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.