# Derivada de log x: base 10 y base b, con ejemplos

> La derivada de log₁₀ x es 1/(x ln 10), y la de log_b x es 1/(x ln b). Demostración con el cambio de base, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-log-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} $$

## De un vistazo

- **Derivada de log₁₀ x:** $\dfrac{1}{x\ln 10} \approx \dfrac{0.4343}{x}$
- **Base general:** $\dfrac{d}{dx}\log_b x = \dfrac{1}{x\ln b}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\log_b u = \dfrac{u'}{u\ln b}$
- **Cambio de base:** $\log_b x = \dfrac{\ln x}{\ln b}$
- **Dominio:** $x > 0$

## Ideas clave

- La derivada de $\log_{10} x$ es $\frac{1}{x\ln 10}$, y para cualquier base $b$, $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$.
- La demostración ocupa una línea: el cambio de base da $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, una constante por $\ln x$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$.
- En muchos libros de cálculo y en matemáticas superiores, "log x" significa el logaritmo natural, así que comprueba la convención de tu curso.

La **derivada de $\log_{10} x$ es $\dfrac{1}{x\ln 10}$**. Para un logaritmo de cualquier base $b$:

$$\frac{d}{dx}\,\log_{10} x = \frac{1}{x\ln 10} \qquad\qquad \frac{d}{dx}\,\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$$

Es la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x), $\frac{1}{x}$, dividida entre la constante $\ln b$.

## ¿Qué logaritmo es "log x"?

La notación depende del contexto:

- En las calculadoras, en química y en la mayoría de los cursos de secundaria, $\log x$ significa $\log_{10} x$.
- En muchos libros de cálculo, en matemáticas superiores y en la mayoría de los lenguajes de programación, $\log x$ significa $\ln x$.
- En informática, $\log x$ suele significar $\log_2 x$.

Si no estás seguro, mira las soluciones: un resultado con $\ln 10$ indica base 10.

## Demostración con la fórmula del cambio de base

La fórmula del cambio de base convierte cualquier logaritmo en un logaritmo natural:

$$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$$

Como $\frac{1}{\ln b}$ es una constante, la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule) da

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln b}$$

Para la base 10, $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.4343$. Así que un logaritmo en base 10 crece aproximadamente al $43\%$ del ritmo del logaritmo natural.

## Gráfica de log₁₀ x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = log₁₀ x y de su derivada'
caption: 'El logaritmo en base 10 crece despacio. Su pendiente en $x = 1$ es $\frac{1}{\ln 10} \approx 0.434$.'
x: [-0.5, 10]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(10)
    label: y = log₁₀ x
    domain: [0.02, 10]
  - expr: 1/(x*ln(10))
    label: y = 1/(x ln 10) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.25, 10]
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [10, 1, '(10, 1)']
```

## Derivadas para las bases más comunes

| Función | Derivada | Aproximación |
| --- | --- | --- |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_{10} x$ | $\frac{1}{x\ln 10}$ | $\frac{0.4343}{x}$ |
| $\log_2 x$ | $\frac{1}{x\ln 2}$ | $\frac{1.4427}{x}$ |
| $\log_3 x$ | $\frac{1}{x\ln 3}$ | $\frac{0.9102}{x}$ |

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\log_b u = \frac{u'}{u\ln b}$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\log_{10}(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\log_2(3x) = \frac{3}{3x\ln 2} = \frac{1}{x\ln 2}$. El $3$ se simplifica, igual que en la [derivada de ln(2x)](/derivatives/ln-2x).

**Ejemplo 3: regla del producto.** Para $f(x) = x\log_{10} x$,

$$f'(x) = \log_{10} x + x\cdot\frac{1}{x\ln 10} = \log_{10} x + \frac{1}{\ln 10}$$

**Ejemplo 4: decibelios.** El nivel sonoro es $L = 10\log_{10}\frac{I}{I_0}$. Entonces $\frac{dL}{dI} = \frac{10}{I\ln 10}$, así que cada unidad extra de intensidad importa menos a medida que $I$ crece.

## Inversa de aˣ

$\log_b x$ es la inversa de $b^x$, cuya derivada es $b^x\ln b$ (consulta la [derivada de 2ˣ y aˣ](/derivatives/2-to-the-x)). Una lleva $\ln b$ en el numerador y la otra en el denominador, como predice la [regla de la función inversa](/rules/inverse-function-rule).

## Errores comunes

1. **Escribir $\frac{1}{x}$ para la base 10.** Eso solo es correcto para el logaritmo natural.
2. **Poner $\log 10$ en lugar de $\ln 10$.** El factor siempre es un logaritmo natural. ($\log_{10} 10 = 1$, lo que lo anularía por error).
3. **Escribir $\frac{\ln 10}{x}$.** El $\ln b$ va en el denominador.

Para más, consulta las [funciones logarítmicas](/functions/logarithmic-functions) y los [ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas](/practice-problems/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de log x?

Si $\log x$ significa base 10, la derivada es $\frac{1}{x\ln 10}$. Si significa el logaritmo natural, como en muchos textos avanzados, la derivada es $\frac{1}{x}$.

### ¿Cuál es la derivada del logaritmo en base 2 de x?

Es $\frac{1}{x\ln 2}$, que es aproximadamente $\frac{1.443}{x}$.

### ¿Por qué aparece un ln en la derivada de un logaritmo en base 10?

Porque $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$. La derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$, y la constante $\frac{1}{\ln 10}$ simplemente se mantiene.

### ¿Cuál es la derivada de log(x² + 1)?

En base 10, es $\frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 10}$.