# Derivada de la raíz cúbica de x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de la raíz cúbica de x es 1/(3∛(x²)). Demostración con la regla de la potencia y con límites, la tangente vertical en 0 y la regla de la cadena.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-raiz-cubica-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ para $x \ne 0$
- **Como potencia:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/3} = \tfrac{1}{3}x^{-2/3}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \dfrac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$
- **En x = 0:** No es derivable, la tangente es vertical
- **Dominio:** Todos los números reales, a diferencia de $\sqrt{x}$

## Ideas clave

- La derivada de $\sqrt[3]{x}$ es $\frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
- La raíz cúbica está definida para $x$ negativo, y la fórmula también funciona ahí.
- La derivada siempre es positiva, así que $\sqrt[3]{x}$ siempre crece.
- En $x = 0$ la pendiente es infinita, así que ahí la derivada no existe.

La **derivada de $\sqrt[3]{x}$ es $\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$**, para todo $x \ne 0$. Escribe la raíz cúbica como la potencia $x^{1/3}$ y la regla de la potencia hace el resto.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

## Gráfica de ∛x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = ∛x y de su derivada'
caption: 'La raíz cúbica pasa por el origen con una tangente vertical. Su derivada es positiva a ambos lados y se dispara cerca de $x = 0$.'
x: [-6, 6]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: x^(1/3)
    label: y = ∛x
  - expr: 1/(3abs(x)^(2/3))
    label: y = 1/(3∛(x²)) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 1, '(1, 1), pendiente 1/3']
  - [-1, -1, '(-1, -1), pendiente 1/3']
```

Fíjate en que la derivada es la misma en $x = 1$ y en $x = -1$. Como $x^2$ es igual para $x$ y para $-x$, la derivada es una función par.

## Demostración con la regla de la potencia

Usando la [regla de la potencia](/rules/power-rule) con $n = \frac{1}{3}$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

Un exponente negativo pasa la potencia al denominador, y $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.

## Demostración con la definición de límite

Sean $a = \sqrt[3]{x + h}$ y $b = \sqrt[3]{x}$. Entonces $a^3 - b^3 = h$. La diferencia de cubos $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ da

$$\frac{a - b}{h} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \frac{1}{a^2 + ab + b^2}$$

Cuando $h \to 0$, $a \to b$, así que el límite es $\frac{1}{3b^2} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$. Esto requiere $b \ne 0$, que es justo por lo que falla en $x = 0$.

## Por qué la derivada no existe en 0

En $x = 0$ el cociente incremental es $\frac{\sqrt[3]{h}}{h} = h^{-2/3}$, que tiende a $+\infty$ por ambos lados. La curva es continua pero tiene una tangente vertical, un ejemplo clásico de función continua pero no [derivable](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

## Regla de la cadena y otras raíces

Para la raíz cúbica de una expresión, la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) da

$$\frac{d}{dx}\sqrt[3]{u} = \frac{u'}{3\sqrt[3]{u^2}}$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{5x - 1} = \frac{5}{3\sqrt[3]{(5x - 1)^2}}$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\,6\sqrt[3]{x} = 6 \cdot \frac{1}{3}x^{-2/3} = 2x^{-2/3}$.

**Ejemplo 3.** Cualquier raíz funciona igual: $\frac{d}{dx}\sqrt[n]{x} = \frac{1}{n}x^{\frac{1}{n} - 1}$. Para $n = 4$ esto es $\frac{1}{4}x^{-3/4}$.

**Ejemplo 4: una recta tangente.** En $x = 8$, $\sqrt[3]{8} = 2$ y la pendiente es $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$. Así que $\sqrt[3]{9} \approx 2 + \frac{1}{12} \approx 2.083$. El valor real es aproximadamente $2.080$.

## Errores comunes

1. **Escribir $x^{-1/3}$.** El nuevo exponente es $\frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.
2. **Poner el 3 en el lugar equivocado.** El resultado es $\frac{1}{3}x^{-2/3}$, no $3x^{-2/3}$.
3. **Suponer que los $x$ negativos están prohibidos.** Las raíces cúbicas de números negativos son reales, así que la derivada existe para todo $x$ salvo $0$.

Compárala con la [derivada de √x](/derivatives/sqrt-x), que solo está definida para $x > 0$.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de la raíz cúbica de x?

Es $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$, que es lo mismo que $\frac{1}{3}x^{-2/3}$.

### ¿Es derivable la raíz cúbica de x en 0?

No. La función es continua en $0$, pero el cociente incremental $\frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3}$ crece sin límite, así que la tangente en el origen es vertical.

### ¿Cuál es la derivada de x^(2/3)?

Por la regla de la potencia, $\frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$. A diferencia de $x^{1/3}$, esta cambia de signo en $0$, lo que produce una cúspide.

### ¿Cuál es la derivada de la raíz cúbica de (x² + 1)?

Por la regla de la cadena, $\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-2/3} \cdot 2x = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}$.