# Derivada de √x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de √x es 1/(2√x). Demostración con la regla de la potencia y con límites, regla de la cadena para √u, por qué falla en x = 0 y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-raiz-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ para $x > 0$
- **Como potencia:** $\dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
- **En x = 0:** No es derivable, la tangente es vertical
- **Versión para integrales:** $\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sqrt{x}$ es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, válida para $x > 0$.
- Reescribe $\sqrt{x}$ como $x^{1/2}$ y usa la regla de la potencia: $\frac{1}{2}x^{-1/2}$.
- Para la raíz cuadrada de cualquier expresión, $\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
- En $x = 0$ la gráfica tiene una tangente vertical, así que ahí la derivada no existe.

La **derivada de $\sqrt{x}$ es $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$**, para todo $x > 0$. Las raíces no son más que potencias fraccionarias, así que la regla de la potencia se encarga de ellas.

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Gráfica de √x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = √x y de su derivada y = 1/(2√x)'
caption: 'La raíz cuadrada sube con fuerza cerca de $0$ y luego se aplana. Su derivada es grande cerca de $0$ y se reduce hacia $0$.'
x: [-0.5, 6]
y: [-0.5, 3]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
    domain: [0, 6]
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.03, 6]
points:
  - [4, 2, '(4, 2)']
  - [4, 0.25, 'pendiente 1/4']
```

La derivada siempre es positiva, así que $\sqrt{x}$ siempre crece. Pero crece cada vez más despacio, y por eso la curva se dobla hacia abajo.

## Demostración con la regla de la potencia

Reescribe la raíz como potencia, $\sqrt{x} = x^{1/2}$, y usa la [regla de la potencia](/rules/power-rule):

$$\frac{d}{dx}\,x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

## Demostración con la definición de límite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$$

Sustituir $h = 0$ da $\frac{0}{0}$, así que multiplica numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x + h} + \sqrt{x}$:

$$\frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x + h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}}$$

Ahora haz que $h \to 0$ y obtienes $\frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

## Por qué x = 0 es un problema

En $x = 0$ la fórmula dividiría entre cero. Ahí el cociente incremental es $\frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}$, que crece sin límite cuando $h \to 0^+$. La recta tangente en el origen es vertical, así que $\sqrt{x}$ no es [derivable](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability) en $0$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de √u

$$\frac{d}{dx}\,\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{3x}$ | $3x$ | $\frac{3}{2\sqrt{3x}}$ |
| $\sqrt{x^2 + 1}$ | $x^2 + 1$ | $\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ |
| $\sqrt{1 - x^2}$ | $1 - x^2$ | $\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\sqrt{\sin x}$ | $\sin x$ | $\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: junta primero las potencias.** Deriva $x\sqrt{x}$. Como $x\sqrt{x} = x^{3/2}$:

$$\frac{d}{dx}\,x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$$

**Ejemplo 2: un cociente.** $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$, así que su derivada es $-\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

**Ejemplo 3: una recta tangente.** En $x = 9$, $\sqrt{9} = 3$ y la pendiente es $\frac{1}{6}$. La tangente es $y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9)$. Esta recta es la base para estimar $\sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167$, una [aproximación lineal](/blog/linear-approximation) clásica. El valor real es aproximadamente $3.162$.

## Errores comunes

1. **Olvidar el 2.** El resultado es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, no $\frac{1}{\sqrt{x}}$.
2. **Bajar el exponente en la dirección equivocada.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, no $-\frac{3}{2}$ ni $\frac{3}{2}$.
3. **Omitir $u'$.** $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1}$ necesita el factor $2x$ en el numerador.
4. **Sustituir $x = 0$.** La fórmula no tiene valor en $0$. Di que ahí la derivada no existe en lugar de escribir $\frac{1}{0}$.

El sentido inverso está en la página de la [integral de √x](/integrals/sqrt-x). La página de la [función raíz cuadrada](/functions/square-root-function) trata su gráfica y su dominio.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de la raíz cuadrada de x?

Es $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Escribiendo $\sqrt{x} = x^{1/2}$, la regla de la potencia da $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

### ¿Es derivable √x en 0?

No. La función está definida en $0$, pero $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ se dispara cuando $x \to 0^+$. Ahí la gráfica tiene una tangente vertical.

### ¿Cuál es la derivada de 2√x?

Es $2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

### ¿Cuál es la derivada de √(2x)?

Por la regla de la cadena, $\frac{2}{2\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x}}$.