# Derivada de sec²x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sec²x es 2sec²x tan x. Dos demostraciones, una con la regla de la cadena y otra con 1 + tan²x, y ejemplos como sec²(3x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sec-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2\sec^2 x\tan x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **En función de sen y cos:** $\dfrac{2\sin x}{\cos^3 x}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$
- **Relación con tan x:** $\sec^2 x$ es la derivada de $\tan x$, así que esto es $\frac{d^2}{dx^2}\tan x$
- **Integral de sec²x:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sec^2 x$ es $2\sec^2 x\tan x$.
- Trata $\sec^2 x$ como $(\sec x)^2$: el cuadrado exterior da $2\sec x$ y el interior da $\sec x\tan x$.
- Como $\sec^2 x = \frac{d}{dx}\tan x$, este resultado es también la segunda derivada de $\tan x$.
- No la confundas con la derivada de $\tan x$, que es la propia $\sec^2 x$.

La **derivada de $\sec^2 x$ es $2\sec^2 x\tan x$**. Lee $\sec^2 x$ como $(\sec x)^2$ y aplica la regla de la cadena una vez.

$$\frac{d}{dx}\,\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Gráfica de sec²x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sec²x y de su derivada y = 2sec²x tan x'
caption: 'La rama en forma de U de $\sec^2 x$ tiene su mínimo en $x = 0$, donde la derivada cruza el cero.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-8, 8]
functions:
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x
    domain: [-1.25, 1.25]
  - expr: 2sec(x)^2tan(x)
    label: y = 2sec²x tan x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.0, 1.0]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'mínimo, pendiente 0']
```

## Demostración 1: regla de la cadena sobre (sec x)²

La función exterior es el cuadrado y la interior es $\sec x$. Usando la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de sec x](/derivatives/sec-x):

$$\frac{d}{dx}(\sec x)^2 = 2\sec x\cdot\frac{d}{dx}\sec x = 2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

## Demostración 2: usando 1 + tan²x

La identidad $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$ ofrece un segundo camino. El $1$ desaparece, y $\tan^2 x$ es un cuadrado de $\tan x$:

$$\frac{d}{dx}\left(1 + \tan^2 x\right) = 2\tan x\cdot\sec^2 x$$

Los dos caminos coinciden, lo que es una buena comprobación de la identidad.

## Demostración 3: en función de cos x

$\sec^2 x = (\cos x)^{-2}$, así que

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-2} = -2(\cos x)^{-3}\cdot(-\sin x) = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$

Sepárala como $2\cdot\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = 2\sec^2 x\tan x$.

## Por qué es la segunda derivada de tan x

La [derivada de tan x](/derivatives/tan-x) es $\sec^2 x$. Así que derivar $\sec^2 x$ es lo mismo que derivar $\tan x$ dos veces:

$$\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$$

Su signo te indica la concavidad de $\tan x$: cóncava hacia abajo para $-\frac{\pi}{2} < x < 0$ y cóncava hacia arriba para $0 < x < \frac{\pi}{2}$.

## Variantes con la regla de la cadena

$$\frac{d}{dx}\sec^2 u = 2\sec^2 u\tan u\cdot u'$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sec^2(3x) = 6\sec^2(3x)\tan(3x)$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\sec^2(x^2) = 4x\sec^2(x^2)\tan(x^2)$.

**Ejemplo 3: un valor.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\sec^2\frac{\pi}{4} = 2$ y $\tan\frac{\pi}{4} = 1$, así que la pendiente es $2\cdot 2\cdot 1 = 4$.

**Ejemplo 4: un producto.** $\frac{d}{dx}(x\sec^2 x) = \sec^2 x + 2x\sec^2 x\tan x$.

## Dónde te la encontrarás

La derivada de $\sec^2 x$ aparece sobre todo en dos lugares. El primero es al estudiar la concavidad y los puntos de inflexión de $\tan x$, ya que $\sec^2 x$ es su primera derivada. El segundo es en integración, donde reconocer $2\sec^2 x\tan x$ como una derivada permite deshacerla rápidamente con un cambio de variable: tomar $u = \tan x$ convierte $\int 2\tan x\sec^2 x\,dx$ en $\int 2u\,du = \tan^2 x + C$. Como $\tan^2 x$ y $\sec^2 x$ solo difieren en $1$, es la misma familia de antiderivadas.

## Errores comunes

1. **Quedarse en $2\sec x$.** Esa es solo la derivada exterior. Multiplica por $\sec x\tan x$.
2. **Responder $\tan x$.** $\tan x$ es la integral de $\sec^2 x$, no su derivada. Consulta la [integral de sec²x](/integrals/sec-squared-x).
3. **Tratar $\sec^2 x$ como $\sec(x^2)$.** $\frac{d}{dx}\sec(x^2) = 2x\sec(x^2)\tan(x^2)$, que es distinto.

Los cuadrados del seno y del coseno siguen el mismo patrón: consulta la [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) y la [derivada de cos²x](/derivatives/cos-squared-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sec²x?

Es $2\sec^2 x\tan x$.

### ¿Cuál es la segunda derivada de tan x?

La primera derivada es $\sec^2 x$, y su derivada es $2\sec^2 x\tan x$. Así que $\frac{d^2}{dx^2}\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.

### ¿Cuál es la derivada de sec²(2x)?

Por la regla de la cadena, $2\sec(2x)\cdot\sec(2x)\tan(2x)\cdot 2 = 4\sec^2(2x)\tan(2x)$.

### ¿La derivada de sec²x es tan x?

No, eso es al revés. $\tan x$ es la antiderivada de $\sec^2 x$. La derivada de $\sec^2 x$ es $2\sec^2 x\tan x$.