# Derivada de sec x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sec x es sec x tan x. Demostración a partir de 1/cos x, regla de la cadena para sec(u), gráfica y ejemplos resueltos como sec(2x) y x sec x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sec-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\sec x\tan x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **En función de sen y cos:** $\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'$
- **Pendiente en x = 0:** $\sec 0\tan 0 = 0$
- **Versión para integrales:** $\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$.
- Se obtiene escribiendo $\sec x = (\cos x)^{-1}$ y usando la regla de la cadena.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$.
- Leída al revés da $\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C$.

La **derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$**. La secante es el recíproco del coseno, así que su derivada sale directamente de la [derivada de cos x](/derivatives/cos-x).

$$\frac{d}{dx}\,\sec x = \sec x\tan x$$

## Gráfica de sec x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sec x y de su derivada y = sec x tan x'
caption: 'Una rama de $\sec x$. Tiene un mínimo en $x = 0$, donde la derivada vale $0$. A la izquierda de $0$ la pendiente es negativa, a la derecha es positiva.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 7]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)tan(x)
    label: y = sec x tan x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.25, 1.25]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 1, 'mínimo, pendiente 0']
```

## Demostración con la regla de la cadena

Escribe $\sec x = (\cos x)^{-1}$. La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) con la potencia $-1$ por fuera y $\cos x$ por dentro da

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$$

Separa la fracción en dos piezas conocidas:

$$\frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

La [regla del cociente](/rules/quotient-rule) aplicada a $\frac{1}{\cos x}$ da lo mismo: $\frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de sec(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sec u = \sec u\tan u\cdot u'$$

Tanto $\sec$ como $\tan$ conservan el mismo interior.

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sec(2x)$ | $2x$ | $2\sec(2x)\tan(2x)$ |
| $\sec(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec(x^2)\tan(x^2)$ |
| $\sec(3x + 1)$ | $3x + 1$ | $3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1)$ |
| $\sec\left(\frac{1}{x}\right)$ | $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x}$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un producto.** $\frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x)$.

**Ejemplo 2: una potencia.** $\frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x$.

**Ejemplo 3: una suma que se simplifica.** $\frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x)$. Este resultado tan limpio es el truco que hay detrás de la [integral de sec x](/integrals/sec-x), $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$.

**Ejemplo 4: un valor.** En $x = \frac{\pi}{3}$, $\sec\frac{\pi}{3} = 2$ y $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, así que la pendiente es $2\sqrt{3} \approx 3.46$.

## Cómo recordarla

En cálculo, la secante y la tangente siempre van juntas. La derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x$, y la derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$. Una forma de no confundirlas: la derivada de la tangente no contiene ninguna tangente, mientras que la derivada de la secante contiene ambas funciones una vez cada una. Comprobar un valor también ayuda. En $x = 0$ la secante tiene su mínimo, así que la pendiente tiene que ser cero, y efectivamente $\tan 0 = 0$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\tan^2 x$ o $\sec^2 x$.** La derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$. $\sec^2 x$ es la derivada de $\tan x$.
2. **Añadir un signo menos.** La secante no es una función "co", así que su derivada es positiva. Compárala con la [derivada de csc x](/derivatives/csc-x), $-\csc x\cot x$.
3. **Cambiar solo uno de los interiores.** $\frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x)$. Los dos factores conservan $5x$.

Leer el resultado al revés da la [integral de sec x tan x](/integrals/sec-x-tan-x). La página de [funciones trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions) trata la gráfica de la secante.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sec x?

La derivada de $\sec x$ es $\sec x\tan x$.

### ¿Cómo se demuestra la derivada de sec x?

Escribe $\sec x = (\cos x)^{-1}$. La regla de la cadena da $-(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$.

### ¿Cuál es la derivada de sec(2x)?

Por la regla de la cadena, $2\sec(2x)\tan(2x)$.

### ¿Cuál es la derivada de sec²x?

Es $2\sec x\cdot\sec x\tan x = 2\sec^2 x\tan x$.