# Derivada de sen 2x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sen 2x es 2cos 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con 2 sen x cos x, la regla general para sen(ax) y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sen-2x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2\cos 2x$
- **Regla general:** $\dfrac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$
- **Segunda derivada:** $-4\sin 2x$
- **Periodo:** $\pi$, la mitad del periodo de $\sin x$
- **Integral de sen 2x:** $\int\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sin 2x$ es $2\cos 2x$. El 2 de dentro sale delante.
- En general, $\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax)$.
- El interior $2x$ se queda igual en el resultado. No lo cambies por $x$.
- Reescribir $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ y usar la regla del producto da el mismo resultado.

La **derivada de $\sin 2x$ es $2\cos 2x$**. La regla de la cadena saca delante el factor interior $2$, y el interior $2x$ se queda igual.

$$\frac{d}{dx}\,\sin 2x = 2\cos 2x$$

## Gráfica de sen 2x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sin 2x y de su derivada y = 2cos 2x'
caption: '$\sin 2x$ oscila el doble de rápido que $\sin x$, así que sus pendientes son el doble de pronunciadas. La derivada alcanza $\pm 2$.'
x: [-3.3, 3.3]
y: [-2.5, 2.5]
functions:
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x
  - expr: 2cos(2x)
    label: y = 2cos 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'pendiente 2']
  - [0.7854, 1, 'máximo, pendiente 0']
```

## Demostración con la regla de la cadena

Función exterior $\sin u$, función interior $u = 2x$, así que $u' = 2$. Con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) y la [derivada de sen x](/derivatives/sin-x):

$$\frac{d}{dx}\sin(2x) = \cos(2x)\cdot 2 = 2\cos 2x$$

## Comprobación con la fórmula del ángulo doble

Reescribe $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ y usa la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) = 2\left(\cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x)\right) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$$

La fórmula del ángulo doble $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ lo convierte en $2\cos 2x$. Dos métodos, un mismo resultado.

## Por qué sale el 2

Comprimir la gráfica horizontalmente por un factor 2 la hace el doble de pronunciada en todas partes. Eso es lo que recoge el factor $2$ delante de $\cos 2x$. En general:

$$\frac{d}{dx}\sin(ax) = a\cos(ax), \qquad \frac{d}{dx}\sin(ax + b) = a\cos(ax + b)$$

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\sin 3x$ | $3\cos 3x$ |
| $\sin\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2}$ |
| $\sin(2x + 1)$ | $2\cos(2x + 1)$ |
| $\sin(\pi x)$ | $\pi\cos(\pi x)$ |
| $5\sin 2x$ | $10\cos 2x$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un valor.** En $x = \frac{\pi}{6}$, la pendiente es $2\cos\frac{\pi}{3} = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$.

**Ejemplo 2: un producto.** $\frac{d}{dx}(x\sin 2x) = \sin 2x + 2x\cos 2x$.

**Ejemplo 3: derivadas sucesivas.** Cada derivada saca otro $2$: $\frac{d^2}{dx^2}\sin 2x = -4\sin 2x$, $\frac{d^3}{dx^3}\sin 2x = -8\cos 2x$ y $\frac{d^4}{dx^4}\sin 2x = 16\sin 2x$.

**Ejemplo 4: una conexión con sen²x.** La [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) es $\sin 2x$. Así que $\sin^2 x$ es una antiderivada de $\sin 2x$, y también lo es $-\frac{1}{2}\cos 2x$. Difieren en una constante, ya que $\sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x$.

## Dónde te la encontrarás

La función $\sin 2x$ aparece siempre que una onda se repite el doble de veces que $\sin x$. También aparece como resultado simplificado, por ejemplo como derivada de $\sin^2 x$, así que conocer su propia derivada ahorra tiempo con las segundas derivadas. En física, $\sin 2\theta$ aparece en el alcance de un proyectil, y su derivada te dice cómo cambia el alcance al inclinar el ángulo de lanzamiento.

## Errores comunes

1. **Olvidar el 2.** $\frac{d}{dx}\sin 2x$ no es $\cos 2x$.
2. **Cambiar el interior.** El resultado es $2\cos 2x$, no $2\cos x$.
3. **Dividir en lugar de multiplicar.** El $\frac{1}{2}$ aparece al integrar, no al derivar. Consulta la [integral de sen 2x](/integrals/sin-2x).
4. **Confundir $\sin 2x$ con $2\sin x$.** $\frac{d}{dx}(2\sin x) = 2\cos x$. Las gráficas son distintas.

Para practicar más la regla de la cadena, prueba los [ejercicios de la regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sen 2x?

Es $2\cos 2x$, por la regla de la cadena.

### ¿Por qué la derivada de sen 2x no es cos 2x?

Por la regla de la cadena. El interior $2x$ tiene derivada $2$, y hay que multiplicar por ella.

### ¿Cuál es la derivada de 2 sen x cos x?

Es $2\cos 2x$, ya que $2\sin x\cos x = \sin 2x$. La regla del producto da $2(\cos^2 x - \sin^2 x)$, que es lo mismo.

### ¿Cuál es la derivada de sen(2x + 1)?

Es $2\cos(2x + 1)$. La constante $1$ no cambia la derivada interior.