# Derivada de sen²x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sen²x es 2 sen x cos x, que es igual a sen 2x. Demostración con la regla de la cadena, comprobación con el ángulo doble y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sen-cuadrado-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2\sin x\cos x$
- **Simplificada:** $\sin 2x$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u'$
- **No es lo mismo que:** $\sin(x^2)$, cuya derivada es $2x\cos(x^2)$
- **Integral de sen²x:** $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sin^2 x$ es $2\sin x\cos x$, que se simplifica a $\sin 2x$.
- Lee $\sin^2 x$ como $(\sin x)^2$: el cuadrado es la función exterior y $\sin x$ la interior.
- La identidad $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ da el mismo resultado, una comprobación útil.
- $\sin^2 x$ y $\sin(x^2)$ son funciones distintas con derivadas distintas.

La **derivada de $\sin^2 x$ es $2\sin x\cos x$**, que la fórmula del ángulo doble abrevia como $\sin 2x$.

$$\frac{d}{dx}\,\sin^2 x = 2\sin x\cos x = \sin 2x$$

## Gráfica de sen²x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sin²x y de su derivada y = sin 2x'
caption: '$\sin^2 x$ oscila entre $0$ y $1$ con periodo $\pi$. Su pendiente es $0$ en cada máximo y cada vez que toca el eje, que es donde $\sin 2x = 0$.'
x: [-0.5, 6.5]
y: [-1.5, 1.6]
functions:
  - expr: sin(x)^2
    label: y = sin²x
  - expr: sin(2x)
    label: y = sin 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0.7854, 0.5, 'más pronunciada, pendiente 1']
  - [1.5708, 1, 'máximo, pendiente 0']
```

## Demostración con la regla de la cadena

La notación $\sin^2 x$ significa $(\sin x)^2$. Por fuera está el cuadrado, por dentro $\sin x$. La [regla de la cadena](/rules/chain-rule) da

$$\frac{d}{dx}(\sin x)^2 = 2\sin x\cdot\frac{d}{dx}\sin x = 2\sin x\cos x$$

La identidad del ángulo doble $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ lo deja en $\sin 2x$.

## Comprobación con una identidad del ángulo doble

Reescribe primero con $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-2\sin 2x) = \sin 2x$$

El mismo resultado, sin necesidad de aplicar la regla de la cadena a un cuadrado. Esta fórmula de reducción de potencias es también la que se usa para integrarla; consulta la [integral de sen²x](/integrals/sin-squared-x).

## Comprobación con la regla del producto

Escribe $\sin^2 x = \sin x\cdot\sin x$ y usa la [regla del producto](/rules/product-rule): $\cos x\sin x + \sin x\cos x = 2\sin x\cos x$.

## Variantes con la regla de la cadena

$$\frac{d}{dx}\sin^2 u = 2\sin u\cos u\cdot u' = \sin(2u)\cdot u'$$

| Función | Derivada | Simplificada |
| --- | --- | --- |
| $\sin^2(3x)$ | $6\sin 3x\cos 3x$ | $3\sin 6x$ |
| $\sin^2(x^2)$ | $4x\sin(x^2)\cos(x^2)$ | $2x\sin(2x^2)$ |
| $\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\sin x$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una potencia mayor.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$.

**Ejemplo 2: un valor.** En $x = \frac{\pi}{4}$, la pendiente es $\sin\frac{\pi}{2} = 1$. Es el punto más pronunciado de $\sin^2 x$.

**Ejemplo 3: pendiente máxima.** La derivada $\sin 2x$ vale como mucho $1$, así que $\sin^2 x$ nunca sube con una pendiente mayor que $1$, la misma velocidad máxima que $\sin x$.

**Ejemplo 4: segunda derivada.** $\frac{d}{dx}\sin 2x = 2\cos 2x$, así que $\sin^2 x$ es cóncava hacia arriba donde $\cos 2x > 0$, por ejemplo en $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.

## Por qué el resultado tiene periodo π

La función $\sin^2 x$ nunca es negativa, así que su gráfica se repite cada $\pi$ en lugar de cada $2\pi$. La derivada $\sin 2x$ también tiene periodo $\pi$, lo cual es una buena comprobación de coherencia: una función y su derivada deberían repetirse a la vez. Si tu resultado tuviera periodo $2\pi$, como $2\cos x$, algo ha fallado. Comparar el periodo es una forma rápida de detectar errores sin rehacer el álgebra.

## Errores comunes

1. **Responder $\cos^2 x$.** Elevar la derivada al cuadrado no es la regla de la cadena.
2. **Responder $2\cos x$.** La derivada del cuadrado es $2\sin x$, y después multiplicas por $\cos x$.
3. **Confundir $\sin^2 x$ con $\sin(x^2)$.** Consulta la [derivada de sen(x²)](/derivatives/sin-x-squared): $2x\cos(x^2)$.

La versión con coseno está en la página de la [derivada de cos²x](/derivatives/cos-squared-x), y el resultado $\sin 2x$ tiene su propia página, la [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sen²x?

Es $2\sin x\cos x$, que es lo mismo que $\sin 2x$.

### ¿Cuál es la derivada de sen²(3x)?

Aplicando dos veces la regla de la cadena, $2\sin(3x)\cdot\cos(3x)\cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$.

### ¿La derivada de sen²x es 2 cos x?

No. Eso se salta la regla de la cadena. El cuadrado da $2\sin x$, y luego multiplicas por la derivada de $\sin x$, que es $\cos x$.

### ¿Por qué la derivada de sen²x más la derivada de cos²x da cero?

Porque $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, una constante. Efectivamente, $\sin 2x + (-\sin 2x) = 0$.