# Derivada de sen(x²): fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sen(x²) es 2x cos(x²). La regla de la cadena paso a paso, en qué se diferencia de sen²x, la segunda derivada y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sen-de-x-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2) $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2x\cos(x^2)$
- **Exterior e interior:** Exterior $\sin u$, interior $u = x^2$
- **Segunda derivada:** $2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$
- **No es lo mismo que:** $\sin^2 x$, cuya derivada es $\sin 2x$
- **Integral:** $\int\sin(x^2)\,dx$ no tiene antiderivada elemental

## Ideas clave

- La derivada de $\sin(x^2)$ es $2x\cos(x^2)$.
- Es un ejercicio de la regla de la cadena: coseno del mismo interior, por la derivada de $x^2$.
- Mantén $x^2$ dentro del coseno. El resultado no es $2x\cos x$.
- $\sin(x^2)$ y $\sin^2 x$ son funciones distintas, así que fíjate bien en la notación.

La **derivada de $\sin(x^2)$ es $2x\cos(x^2)$**. Es un ejercicio clásico de la [regla de la cadena](/rules/chain-rule): el seno está por fuera y $x^2$ por dentro.

$$\frac{d}{dx}\,\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$$

## Gráfica de sen(x²) y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sin(x²) y de su derivada y = 2x cos(x²)'
caption: 'Las ondas de $\sin(x^2)$ se juntan cada vez más a medida que $\lvert x\rvert$ crece, así que las pendientes se vuelven más pronunciadas. El factor $2x$ de la derivada recoge esto.'
x: [-3.2, 3.2]
y: [-7, 7]
functions:
  - expr: sin(x^2)
    label: y = sin(x²)
  - expr: 2x cos(x^2)
    label: y = 2x cos(x²) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'horizontal, pendiente 0']
  - [1.2533, 1, 'máximo, pendiente 0']
```

A diferencia de $\sin x$, esta función no es periódica. Se acelera a medida que te alejas de $0$, y la derivada crece más o menos como $2x$.

## Demostración con la regla de la cadena

Toma $u = x^2$, de modo que $y = \sin u$. Entonces

$$\frac{dy}{du} = \cos u, \qquad \frac{du}{dx} = 2x$$

Multiplica:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} = \cos u\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

El interior $x^2$ se copia sin cambios dentro del coseno. La derivada del interior, $2x$, va delante. Los dos ingredientes son la [derivada de sen x](/derivatives/sin-x) y la [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

## sen(x²) frente a sen²x

Estas dos son fáciles de confundir y tienen derivadas distintas:

| Función | Significado | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sin(x^2)$ | seno de $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin^2 x$ | $(\sin x)^2$ | $2\sin x\cos x = \sin 2x$ |
| $\sin 2x$ | seno de $2x$ | $2\cos 2x$ |

En $x = 1$, por ejemplo, $\sin(1) \approx 0.841$ mientras que $\sin^2(1) \approx 0.708$. Consulta la [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x) y la [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una constante en el interior.** $\frac{d}{dx}\sin(3x^2) = \cos(3x^2)\cdot 6x = 6x\cos(3x^2)$.

**Ejemplo 2: un valor.** En $x = \sqrt{\pi}$, $x^2 = \pi$ y $\cos\pi = -1$, así que la pendiente es $2\sqrt{\pi}\cdot(-1) = -2\sqrt{\pi} \approx -3.54$.

**Ejemplo 3: un producto.** Con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(x\sin(x^2)\right) = \sin(x^2) + x\cdot 2x\cos(x^2) = \sin(x^2) + 2x^2\cos(x^2)$$

**Ejemplo 4: segunda derivada.** Deriva $2x\cos(x^2)$ con la regla del producto:

$$\frac{d}{dx}\left(2x\cos(x^2)\right) = 2\cos(x^2) + 2x\cdot\left(-2x\sin(x^2)\right) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)$$

**Ejemplo 5: otras potencias.** $\frac{d}{dx}\sin(x^3) = 3x^2\cos(x^3)$ y $\frac{d}{dx}\cos(x^2) = -2x\sin(x^2)$.

## Cómo identificar el exterior y el interior

Lo más difícil de este ejercicio es leerlo bien. Pregúntate qué operación harías en último lugar si sustituyeras un número. Para $\sin(x^2)$ con $x = 3$, primero elevas al cuadrado y obtienes $9$, y luego calculas el seno. El último paso, el seno, es la función exterior. El primer paso, elevar al cuadrado, es la interior. Ese orden te dice exactamente cómo aplicar la regla de la cadena. La misma prueba sirve para cualquier composición: lo que ocurre en último lugar se deriva primero, y el resto se multiplica como derivada interior.

## Errores comunes

1. **Olvidar el $2x$.** $\cos(x^2)$ por sí solo es únicamente la derivada exterior.
2. **Cambiar el interior.** Escribir $2x\cos x$ o $\cos 2x$ pierde el $x^2$.
3. **Leerla como $\sin^2 x$.** Revisa los paréntesis antes de empezar.

Aplicar la regla de la cadena al revés es el [cambio de variable](/rules/u-substitution-rule): $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$. Practica más con los [ejercicios de la regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sen(x²)?

Es $2x\cos(x^2)$. La derivada exterior es $\cos(x^2)$ y la derivada interior es $2x$.

### ¿Qué diferencia hay entre sen(x²) y sen²x?

En $\sin(x^2)$ primero elevas $x$ al cuadrado y luego calculas el seno. En $\sin^2 x = (\sin x)^2$ primero calculas el seno y luego elevas al cuadrado. Sus derivadas son $2x\cos(x^2)$ y $2\sin x\cos x$.

### ¿Cuál es la derivada de sen(3x²)?

Es $6x\cos(3x^2)$, ya que la derivada de $3x^2$ es $6x$.

### ¿Cuál es la integral de sen(x²)?

No tiene fórmula en funciones elementales. Define la integral de Fresnel y normalmente se calcula numéricamente. En cambio, $\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$ por cambio de variable.