# Derivada de sen x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de sen x es cos x. Demostración por límites, la versión con la regla de la cadena para sen(u), una gráfica y ejemplos como sen(3x) y x sen x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-sen-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\cos x$ para todo $x$ real
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$
- **Segunda derivada:** $-\sin x$
- **Unidades:** $x$ tiene que estar en radianes
- **Versión para integrales:** $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\sin x$ es $\cos x$.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'$, así que $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$.
- La demostración se basa en dos límites: $\frac{\sin h}{h} \to 1$ y $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$.
- La fórmula solo es válida cuando $x$ se mide en radianes.

La **derivada de $\sin x$ es $\cos x$**. Allí donde la onda del seno sube, el coseno es positivo. Allí donde baja, el coseno es negativo.

$$\frac{d}{dx}\,\sin x = \cos x$$

## Gráfica de sen x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sin x y de su derivada y = cos x'
caption: 'En los máximos y mínimos de $\sin x$ la pendiente es $0$, y $\cos x$ cruza el eje. En $x = 0$ la pendiente de $\sin x$ es $1 = \cos 0$.'
x: [-6.5, 6.5]
y: [-1.8, 1.8]
functions:
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'pendiente 1']
  - [1.5708, 1, 'máximo, pendiente 0']
```

## Demostración con la definición de límite

Usa la fórmula del seno de una suma $\sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$:

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$$

Dos límites conocidos terminan la demostración. Cuando $h \to 0$, $\frac{\sin h}{h} \to 1$ (se demuestra con el [teorema del sándwich](/theorems/squeeze-theorem)) y $\frac{\cos h - 1}{h} \to 0$. Así que

$$\frac{d}{dx}\sin x = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$

El límite $\frac{\sin h}{h} \to 1$ solo se cumple con $h$ en radianes. Esa es la verdadera razón por la que en cálculo se usan radianes.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de sen(u)

$$\frac{d}{dx}\,\sin u = \cos u \cdot u'$$

Mantén el mismo interior, cambia el seno por coseno y multiplica por la derivada del interior. Consulta la [regla de la cadena](/rules/chain-rule).

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\sin(3x)$ | $3x$ | $3\cos(3x)$ |
| $\sin(2x)$ | $2x$ | $2\cos(2x)$ |
| $\sin(x^2)$ | $x^2$ | $2x\cos(x^2)$ |
| $\sin(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\cos(e^x)$ |
| $\sin\left(\frac{x}{2}\right)$ | $\frac{x}{2}$ | $\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$ |

Páginas completas: [derivada de sen 2x](/derivatives/sin-2x) y [derivada de sen(x²)](/derivatives/sin-x-squared).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un producto.** Deriva $f(x) = x\sin x$ con la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$f'(x) = \sin x + x\cos x$$

**Ejemplo 2: una potencia del seno.** $\frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x$. La función exterior es el cubo y la interior es $\sin x$.

**Ejemplo 3: una recta tangente.** En $x = \frac{\pi}{3}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y la pendiente es $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$:

$$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$

**Ejemplo 4: derivadas sucesivas.** Las derivadas de $\sin x$ forman un ciclo cada cuatro pasos: $\cos x$, $-\sin x$, $-\cos x$ y de nuevo $\sin x$. Así que la décima derivada es igual que la segunda: $-\sin x$.

## Errores comunes

1. **Añadir un signo menos.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$, positiva. El menos pertenece a la [derivada de cos x](/derivatives/cos-x).
2. **Cambiar el interior.** $\frac{d}{dx}\sin(3x)$ es $3\cos(3x)$, no $3\cos x$ ni $\cos 3$.
3. **Confundir $\sin^2 x$ con $\sin(x^2)$.** Sus derivadas son $2\sin x\cos x$ y $2x\cos(x^2)$.
4. **Trabajar en grados.** En grados aparece un factor extra $\frac{\pi}{180}$.

La operación inversa está en la página de la [integral de sen x](/integrals/sin-x). Para una visión de conjunto, lee [derivadas de funciones trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions) o prueba los [ejercicios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de sen x?

La derivada de $\sin x$ es $\cos x$.

### ¿Cuál es la derivada de sen(3x)?

Por la regla de la cadena, $\cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

### ¿Cuál es la derivada de sen x en grados?

Si $x$ está en grados, $\frac{d}{dx}\sin x^\circ = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$. El resultado limpio $\cos x$ solo funciona en radianes, y por eso en cálculo se usan radianes.

### ¿La derivada de sen x es -cos x?

No. $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$. El signo menos pertenece a la integral, $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$, y a la derivada del coseno, $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.