# Derivada de senh x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de senh x es cosh x. Demostración a partir de la definición exponencial, por qué no hay signo menos, ejemplos con la regla de la cadena y gráfica.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-senh-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\cosh x$
- **Definición:** $\sinh x = \dfrac{e^x - e^{-x}}{2}$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$
- **Segunda derivada:** $\sinh x$
- **Derivada de la inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## Ideas clave

- La derivada de $\sinh x$ es $\cosh x$.
- La demostración sale directamente de $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.
- A diferencia de $\sin x$ y $\cos x$, no hay signos menos: $\sinh$ y $\cosh$ son cada una la derivada de la otra.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$.

La **derivada de $\sinh x$ es $\cosh x$**. El seno hiperbólico se comporta en muchos aspectos como el seno ordinario, pero su derivada no da sorpresas con los signos.

$$\frac{d}{dx}\,\sinh x = \cosh x$$

## Demostración a partir de la definición

El seno y el coseno hiperbólicos se definen con exponenciales:

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$

Deriva $\sinh x$ término a término. La [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es $e^x$, y la [derivada de e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x) es $-e^{-x}$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Los dos signos menos se cancelan, y por eso el resultado es $+\cosh x$.

## Gráfica de senh x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = sinh x y de su derivada y = cosh x'
caption: 'La pendiente de $\sinh x$ nunca es menor que $1$, el valor de $\cosh 0$. Así que $\sinh x$ siempre es creciente y pasa por el origen con un ángulo de 45°.'
x: [-3, 3]
y: [-6, 6]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pendiente 1']
```

Como $\cosh x \ge 1$ para todo $x$, la gráfica de $\sinh x$ siempre sube, y su pendiente mínima es $1$ en el origen. Su recta tangente en $0$ es $y = x$.

## Derivadas hiperbólicas frente a circulares

| Circular | Derivada | Hiperbólica | Derivada |
| --- | --- | --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ | $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ | $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

El seno ordinario tiene un ciclo de cuatro pasos: $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$. El seno hiperbólico tiene un ciclo de dos: $\sinh \to \cosh \to \sinh$. Así que $y = \sinh x$ resuelve $y'' = y$, mientras que $y = \sin x$ resuelve $y'' = -y$.

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\sinh u = \cosh u\cdot u'$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\sinh(3x) = 3\cosh(3x)$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\sinh(x^2) = 2x\cosh(x^2)$.

**Ejemplo 3: regla del producto.** $\frac{d}{dx}\,x\sinh x = \sinh x + x\cosh x$.

**Ejemplo 4: una potencia.** $\frac{d}{dx}\sinh^2 x = 2\sinh x\cosh x = \sinh(2x)$, usando la identidad $\sinh 2x = 2\sinh x\cosh x$.

**Ejemplo 5: un logaritmo.** $\frac{d}{dx}\ln(\sinh x) = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \coth x$ para $x > 0$.

## Derivada de la inversa, arsinh x

El seno hiperbólico inverso (argumento del seno hiperbólico) tiene una fórmula logarítmica, $\operatorname{arsinh} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$. Su derivada es

$$\frac{d}{dx}\operatorname{arsinh} x = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

Puedes demostrarla como la [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x): toma $\sinh y = x$, deriva para obtener $\cosh y\,y' = 1$ y usa $\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^2 y} = \sqrt{1 + x^2}$. Este resultado es la razón por la que $\int\frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C$.

## Errores comunes

1. **Añadir un signo menos.** $\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x$, no $-\cosh x$. Solo el coseno circular lleva un menos.
2. **Confundir $\sinh x$ con $\sin x$.** Comparten un patrón, pero son funciones distintas con gráficas distintas.
3. **Olvidar la regla de la cadena.** $\frac{d}{dx}\sinh(5x) = 5\cosh(5x)$.

Para los resultados complementarios, consulta la [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x) y la [derivada de tanh x](/derivatives/tanh-x). La página de [funciones hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) trata sus gráficas e identidades.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de senh x?

La derivada de $\sinh x$ es $\cosh x$.

### ¿Cuál es la derivada de senh(2x)?

Por la regla de la cadena es $2\cosh(2x)$.

### ¿Por qué la derivada de senh x no es negativa como la de cos?

Porque $\sinh$ se construye con exponenciales, no con la circunferencia unidad. Al derivar $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ se obtiene $\frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$, sin cambio de signo.

### ¿Cuál es la derivada del seno hiperbólico inverso?

La derivada de $\operatorname{arsinh} x$ (que también se escribe $\sinh^{-1} x$) es $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.