# Derivada de tan x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de tan x es sec²x. Demostración con la regla del cociente, la forma 1 + tan²x, regla de la cadena para tan(u) y ejemplos como tan(4x) y tan²x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-tan-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\sec^2 x$ para $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Otras formas:** $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$
- **Pendiente en x = 0:** $\sec^2 0 = 1$
- **Versión para integrales:** $\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x$, que también es igual a $1 + \tan^2 x$.
- Se obtiene con la regla del cociente sobre $\frac{\sin x}{\cos x}$ y la identidad $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Como $\sec^2 x \ge 1$, $\tan x$ es creciente en todo intervalo donde está definida.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\tan u = \sec^2 u \cdot u'$.

La **derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x$**. También la verás escrita como $\frac{1}{\cos^2 x}$ o $1 + \tan^2 x$. Las tres son la misma función.

$$\frac{d}{dx}\,\tan x = \sec^2 x$$

## Gráfica de tan x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = tan x y de su derivada y = sec²x'
caption: 'Una rama de $\tan x$ entre sus asíntotas. La pendiente es mínima en $x = 0$, donde vale $1$, y crece sin límite cerca de $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-1.6, 1.6]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
    domain: [-1.4, 1.4]
  - expr: sec(x)^2
    label: y = sec²x (derivada)
    dashed: true
    domain: [-1.2, 1.2]
vertical:
  - x: 1.5708
    label: x = π/2
  - x: -1.5708
    label: x = -π/2
points:
  - [0, 0, 'pendiente 1']
```

Como $\sec^2 x$ nunca es menor que $1$, la función tangente siempre es creciente entre asíntotas. Nunca tiene una tangente horizontal.

## Demostración con la regla del cociente

Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ y usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

La identidad pitagórica convierte el numerador en $1$:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Si en cambio separas la fracción antes de simplificar, $\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$. Esa forma es útil cuando el resultado debe expresarse solo en función de $\tan x$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de tan(u)

$$\frac{d}{dx}\,\tan u = \sec^2 u\cdot u'$$

| Función | Interior $u$ | Derivada |
| --- | --- | --- |
| $\tan(4x)$ | $4x$ | $4\sec^2(4x)$ |
| $\tan(x^2)$ | $x^2$ | $2x\sec^2(x^2)$ |
| $\tan\sqrt{x}$ | $\sqrt{x}$ | $\frac{\sec^2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$ |
| $\tan(e^x)$ | $e^x$ | $e^x\sec^2(e^x)$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una potencia de la tangente.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\cdot\sec^2 x$. Aquí la tangente es el interior y el cuadrado es el exterior.

**Ejemplo 2: un producto.** $\frac{d}{dx}(x\tan x) = \tan x + x\sec^2 x$, por la [regla del producto](/rules/product-rule).

**Ejemplo 3: una recta tangente.** En $x = \frac{\pi}{4}$, $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ y la pendiente es $\sec^2\frac{\pi}{4} = (\sqrt{2})^2 = 2$:

$$y = 1 + 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$

**Ejemplo 4: segunda derivada.** $\frac{d}{dx}\sec^2 x = 2\sec^2 x\tan x$, como se calcula en la página de la [derivada de sec²x](/derivatives/sec-squared-x). Es negativa para $x < 0$ y positiva para $x > 0$, así que $\tan x$ tiene un punto de inflexión en el origen.

## Cómo recordarla

La tangente es la pendiente de una recta que sale del origen con ángulo $x$. Cuando el ángulo se acerca a un ángulo recto, esa pendiente se dispara, y lo mismo ocurre con $\sec^2 x$. En $x = 0$ la gráfica de la tangente pasa por el origen con un ángulo de 45 grados, lo que coincide con una derivada de $1$.

## Errores comunes

1. **Escribir $\sec x$ en lugar de $\sec^2 x$.** El cuadrado importa. $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$, un resultado distinto.
2. **Escribir $\sec^2 x\tan x$.** Esa es la derivada de $\frac{1}{2}\sec^2 x$, no de $\tan x$.
3. **Aplicar la fórmula en una asíntota.** $\tan x$ y su derivada no existen en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Leer la fórmula al revés da $\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C$; consulta la [integral de sec²x](/integrals/sec-squared-x). Para $\int\tan x\,dx$, consulta la [integral de tan x](/integrals/tan-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de tan x?

La derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

### ¿Por qué la derivada de tan x es sec² x?

Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. La regla del cociente da $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.

### ¿Cuál es la derivada de tan(2x)?

Por la regla de la cadena, $2\sec^2(2x)$.

### ¿Cuál es la derivada de tan²x?

Es $2\tan x\sec^2 x$. La función exterior es el cuadrado y la interior es $\tan x$.