# Derivada de tanh x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de tanh x es sech² x, que es igual a 1 − tanh² x. Demostración con la regla del cociente, regla de la cadena, gráfica y derivada de artanh.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-tanh-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\operatorname{sech}^2 x = \dfrac{1}{\cosh^2 x}$
- **Forma equivalente:** $1 - \tanh^2 x$
- **Definición:** $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$
- **Recorrido de tanh x:** $(-1, 1)$
- **Derivada de la inversa:** $\dfrac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \dfrac{1}{1 - x^2}$ para $\lvert x\rvert < 1$

## Ideas clave

- La derivada de $\tanh x$ es $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.
- Lo mismo se puede escribir como $1 - \tanh^2 x$, una forma útil en ecuaciones diferenciales y en redes neuronales.
- La demostración usa la regla del cociente y la identidad $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$.
- La pendiente es $1$ en $x = 0$ y se reduce hacia $0$ a medida que $\tanh x$ se estabiliza en $\pm 1$.

La **derivada de $\tanh x$ es $\operatorname{sech}^2 x$**, que también puedes escribir como $1 - \tanh^2 x$.

$$\frac{d}{dx}\,\tanh x = \operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$$

Aquí $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, así que $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$.

## Demostración con la regla del cociente

Escribe $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ y usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule), sabiendo que la [derivada de senh x](/derivatives/sinh-x) es $\cosh x$ y que la [derivada de cosh x](/derivatives/cosh-x) es $\sinh x$:

$$\frac{d}{dx}\,\frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{\cosh x\cdot\cosh x - \sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^2 x} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$$

La identidad hiperbólica $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ simplifica el numerador:

$$\frac{d}{dx}\tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$$

Si en cambio separas la fracción, obtienes la otra forma: $\frac{\cosh^2 x}{\cosh^2 x} - \frac{\sinh^2 x}{\cosh^2 x} = 1 - \tanh^2 x$.

## Gráfica de tanh x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = tanh x y de su derivada y = sech² x'
caption: 'La tangente hiperbólica es una curva en forma de S entre $-1$ y $1$. Su pendiente es $1$ en el origen y se desvanece hasta $0$ a ambos lados.'
x: [-4, 4]
y: [-1.5, 1.5]
functions:
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
  - expr: 1/cosh(x)^2
    label: y = sech² x (derivada)
    dashed: true
  - expr: 1
    label: y = 1
    dashed: true
  - expr: -1
    label: y = −1
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0, 1, 'pendiente 1']
```

La derivada siempre es positiva, así que $\tanh x$ siempre crece. Pero nunca llega a $\pm 1$; esas son asíntotas horizontales. Compárala con la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x), otra curva en S con pendiente $1$ en el origen, aunque arctan se acerca a sus asíntotas mucho más despacio.

## Comparación entre tan y tanh

| Función | Derivada | En función de sí misma |
| --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ | $1 + \tan^2 x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ | $1 - \tanh^2 x$ |

El cambio de signo viene de las identidades: $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$, pero $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$.

## Versión con la regla de la cadena y ejemplos

$$\frac{d}{dx}\tanh u = \operatorname{sech}^2 u\cdot u'$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\tanh(2x) = 2\operatorname{sech}^2(2x)$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\tanh(x^2) = 2x\operatorname{sech}^2(x^2)$.

**Ejemplo 3: un logaritmo.** $\frac{d}{dx}\ln(\cosh x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x$. Así que $\int\tanh x\,dx = \ln(\cosh x) + C$.

**Ejemplo 4: un valor.** En $x = 1$, $\tanh 1 \approx 0.7616$, así que la pendiente es $1 - 0.7616^2 \approx 0.420$.

## Dónde aparece 1 − tanh² x

En aprendizaje automático, $\tanh$ es una función de activación habitual. El entrenamiento necesita su derivada muchas veces, y $1 - \tanh^2 x$ permite que un programa reutilice el valor de $\tanh x$ que ya ha calculado en lugar de evaluar $\cosh x$.

## Derivada de artanh x

Para $\lvert x\rvert < 1$, toma $\tanh y = x$. Entonces $(1 - \tanh^2 y)\,y' = 1$, así que

$$\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$$

## Errores comunes

1. **Escribir $\sec^2 x$.** Esa es la derivada de la tangente circular.
2. **Escribir $1 + \tanh^2 x$.** La versión hiperbólica lleva un signo menos.
3. **Olvidar la derivada del interior.** $\frac{d}{dx}\tanh(3x) = 3\operatorname{sech}^2(3x)$.

La página de [funciones hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions) trata también $\operatorname{sech}$, $\operatorname{csch}$ y $\coth$.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de tanh x?

La derivada de $\tanh x$ es $\operatorname{sech}^2 x$, que también es igual a $1 - \tanh^2 x$.

### ¿Cuál es la derivada de tanh(2x)?

Por la regla de la cadena es $2\operatorname{sech}^2(2x)$.

### ¿Por qué la derivada de tanh se escribe como 1 − tanh² x?

Porque $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$. Divide $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ entre $\cosh^2 x$ para verlo. Esta forma permite calcular la pendiente solo a partir del valor de $\tanh x$.

### ¿Cuál es la derivada de artanh x?

Para $\lvert x\rvert < 1$, $\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^2}$.