# Derivada de una constante: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de una constante es 0. Demostración con la definición de límite y casos engañosos como π², e³, ln 5 o constantes que multiplican.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-una-constante
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,c = 0 $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $0$ para toda constante $c$
- **Gráfica:** Una recta horizontal, que tiene pendiente $0$
- **Constante sumada:** $\dfrac{d}{dx}\big(f(x) + c\big) = f'(x)$
- **Constante multiplicada:** $\dfrac{d}{dx}\big(c\,f(x)\big) = c\,f'(x)$
- **Versión para integrales:** $\int c\,dx = cx + C$

## Ideas clave

- La derivada de cualquier constante es $0$, porque una recta horizontal no tiene inclinación.
- Números como $\pi^2$, $e^3$, $\ln 5$ y $\sin 1$ son constantes, así que sus derivadas son $0$.
- Una constante sumada desaparece al derivar, pero una constante que multiplica se queda.
- Por eso toda antiderivada lleva un $+C$: la constante podría ser cualquiera.

La **derivada de una constante es $0$**. Si $f(x) = c$ para algún número fijo $c$, entonces $f'(x) = 0$ para todo $x$.

$$\frac{d}{dx}\,c = 0$$

## Gráfica de una constante y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = 3 y de su derivada y = 0'
caption: 'Una función constante es una recta horizontal. Su pendiente es $0$ en todas partes, así que la derivada está sobre el eje $x$.'
x: [-4, 4]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: 3
    label: y = 3
  - expr: 0
    label: y = 0 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, 3, 'pendiente 0']
```

## Demostración con la definición de límite

Para $f(x) = c$, tanto $f(x + h)$ como $f(x)$ valen $c$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$

El numerador vale exactamente $0$ para todo $h \ne 0$, así que el límite es $0$. Es la [regla de la constante](/rules/constant-rule).

También puedes verlo con la [regla de la potencia](/rules/power-rule): $c = c\,x^0$, y $\frac{d}{dx}\,x^0 = 0 \cdot x^{-1} = 0$.

## Cómo reconocer constantes disfrazadas

Lo difícil no es la regla, sino reconocer una constante. Todo lo que no contiene la variable es una constante, tenga el aspecto que tenga.

| Expresión | ¿Constante? | Derivada respecto a $x$ |
| --- | --- | --- |
| $7$ | sí | $0$ |
| $\pi^2$ | sí | $0$ |
| $e^3$ | sí | $0$ |
| $\ln 5$ | sí | $0$ |
| $\sin\frac{\pi}{6}$ | sí, vale $\frac{1}{2}$ | $0$ |
| $a^2 + b$ (letras distintas de $x$) | sí, si no dependen de $x$ | $0$ |
| $e^x$ | no | $e^x$ |

## Constantes sumadas frente a constantes que multiplican

Una constante **sumada** desaparece:

$$\frac{d}{dx}\left(x^2 + 10\right) = 2x + 0 = 2x$$

Una constante que **multiplica** se queda, por la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule):

$$\frac{d}{dx}\left(10x^2\right) = 10 \cdot 2x = 20x$$

La razón es geométrica. Sumar $10$ desplaza la gráfica hacia arriba, lo que no cambia ninguna pendiente. Multiplicar por $10$ estira la gráfica, lo que hace que cada pendiente sea 10 veces más pronunciada.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\left(4x^3 - 2x + \pi\right) = 12x^2 - 2$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\left(e^2 x\right) = e^2$. Aquí $e^2$ multiplica a $x$, así que se queda, y la [derivada de x](/derivatives/x) es $1$.

**Ejemplo 3.** $\frac{d}{dx}\left(\ln 3 + \ln x\right) = \frac{1}{x}$. El $\ln 3$ es una constante. Consulta la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).

**Ejemplo 4: otras variables.** En $\frac{d}{dx}(x^2 y^3)$, si $y$ no depende de $x$, trata $y^3$ como una constante que multiplica: el resultado es $2xy^3$. Esta idea se convierte en las [derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) en Cálculo 3.

## Errores comunes

1. **Derivar $e^2$ como si fuera $e^x$.** $\frac{d}{dx}e^2 = 0$, no $e^2$ ni $2e$.
2. **Quitar una constante que multiplica.** $\frac{d}{dx}(3x) = 3$, no $0$.
3. **Usar la regla de la potencia con una base constante.** $\frac{d}{dx}\pi^3$ es $0$, no $3\pi^2$.

En sentido inverso, toda antiderivada lleva un $+C$ porque la derivada de una constante es $0$. Consulta la [integral de una constante](/integrals/constant).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de una constante?

Es $0$. Una función constante $f(x) = c$ nunca cambia, así que su tasa de cambio es cero.

### ¿Cuál es la derivada de e?

El número $e \approx 2.718$ es una constante, así que su derivada es $0$. No lo confundas con $e^x$, cuya derivada es $e^x$.

### ¿Cuál es la derivada de pi?

Es $0$. $\pi$ es un número fijo, aproximadamente $3.14159$.

### ¿Cuál es la derivada de 5x?

Es $5$. El $5$ es una constante que multiplica, no una constante sumada, así que se queda: $5 \cdot \frac{d}{dx}x = 5$.