# Derivada de x²: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de x² es 2x. Demostración con la definición de límite, la regla de la cadena para u², una gráfica, rectas tangentes y ejemplos como (3x + 1)².

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-x-al-cuadrado
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^2 = 2x $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $2x$ para todo $x$ real
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$
- **Segunda derivada:** $\dfrac{d^2}{dx^2}\,x^2 = 2$
- **Pendiente en x = 0:** $0$, el fondo de la parábola
- **Versión para integrales:** $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $x^2$ es $2x$: baja el 2 y reduce el exponente a 1.
- La pendiente de $y = x^2$ en $x = a$ es $2a$, así que es negativa a la izquierda, cero en el vértice y positiva a la derecha.
- Con la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u\,u'$. No olvides el $u'$.
- No confundas $x^2$ con $2^x$: $\frac{d}{dx}\,2^x = 2^x\ln 2$.

La **derivada de $x^2$ es $2x$**. Suele ser la primera derivada que los estudiantes calculan a mano, y muestra toda la idea de derivada en una sola línea de álgebra.

$$\frac{d}{dx}\,x^2 = 2x$$

## Gráfica de x² y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = x² y de su derivada y = 2x'
caption: 'Donde la parábola baja, $2x$ es negativa. En el vértice la pendiente es $0$. Donde sube, $2x$ es positiva.'
x: [-3, 3]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
  - expr: 2x
    label: y = 2x (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'vértice, pendiente 0']
  - [1, 1, '(1, 1), pendiente 2']
```

La derivada crece a medida que $x$ crece, así que la parábola se vuelve más pronunciada cuanto más te alejas del vértice. Así es como se ve una curva cóncava hacia arriba.

## Demostración con la definición de límite

Parte de

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{(x + h)^2 - x^2}{h}$$

Desarrolla el cuadrado: $(x + h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$. Los términos $x^2$ se cancelan:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\,(2x + h) = 2x$$

También puedes obtenerla con la [regla de la potencia](/rules/power-rule), o con la [regla del producto](/rules/product-rule) aplicada a $x \cdot x$: $1\cdot x + x \cdot 1 = 2x$.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de u²

Cuando lo que se eleva al cuadrado no es $x$, usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\,u^2 = 2u \cdot u'$$

| Función | Interior $u$ | Derivada $2u\,u'$ |
| --- | --- | --- |
| $(3x + 1)^2$ | $3x + 1$ | $6(3x + 1)$ |
| $(x^2 + 5)^2$ | $x^2 + 5$ | $4x(x^2 + 5)$ |
| $\sin^2 x$ | $\sin x$ | $2\sin x\cos x$ |
| $(\ln x)^2$ | $\ln x$ | $\frac{2\ln x}{x}$ |

La tercera fila se resuelve por completo en la página de la [derivada de sen²x](/derivatives/sin-squared-x).

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: un polinomio.** Deriva $f(x) = 4x^2 - 3x + 8$:

$$f'(x) = 8x - 3$$

**Ejemplo 2: una recta tangente.** Halla la tangente a $y = x^2$ en $x = 3$. El punto es $(3, 9)$ y la pendiente es $2(3) = 6$:

$$y - 9 = 6(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y = 6x - 9$$

**Ejemplo 3: ¿dónde vale 5 la pendiente?** Resuelve $2x = 5$ y obtienes $x = \frac{5}{2}$. El punto de la parábola es $\left(\frac{5}{2}, \frac{25}{4}\right)$.

**Ejemplo 4: segunda derivada.** $\frac{d}{dx}(2x) = 2$, así que $\frac{d^2}{dx^2}x^2 = 2$. Una segunda derivada constante y positiva significa que la parábola se curva hacia arriba en todas partes.

## Errores comunes

1. **Escribir $2x^2$.** El exponente tiene que bajar en uno: $2x^1 = 2x$.
2. **Confundir $x^2$ con $2^x$.** Se parecen, pero $2^x$ es una exponencial. Su derivada es $2^x \ln 2$; consulta la [derivada de 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x).
3. **Olvidar $u'$.** $\frac{d}{dx}(5x - 2)^2 = 10(5x - 2)$, no $2(5x - 2)$.
4. **Elevar la derivada al cuadrado.** $\frac{d}{dx}(x^2)$ no es $\left(\frac{d}{dx}x\right)^2 = 1$.

En sentido inverso, $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$ está en la página de la [integral de x²](/integrals/x-squared). Practica más con los [ejercicios de la regla de la potencia](/practice-problems/power-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de x²?

La derivada de $x^2$ es $2x$. Por la regla de la potencia, $\frac{d}{dx}x^2 = 2x^{2-1} = 2x$.

### ¿Cómo se calcula la derivada de x² con la definición de límite?

Desarrolla $\frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h$. Cuando $h \to 0$, esto tiende a $2x$.

### ¿Cuál es la derivada de 3x²?

Es $6x$. Multiplica la derivada de $x^2$ por la constante: $3 \cdot 2x = 6x$.

### ¿Cuál es la derivada de (2x + 1)²?

Por la regla de la cadena es $2(2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4$. Desarrollar primero a $4x^2 + 4x + 1$ da el mismo resultado.