# Derivada de xˣ: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de xˣ es xˣ(ln x + 1). Aprende dos métodos, la derivación logarítmica y la reescritura como e^(x ln x), con una gráfica y ejemplos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-x-elevado-a-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1) $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $x^x(\ln x + 1)$ para $x > 0$
- **Reescritura clave:** $x^x = e^{x\ln x}$
- **Método:** derivación logarítmica
- **Mínimo:** $x = \frac{1}{e}$, valor $e^{-1/e} \approx 0.692$
- **Forma general:** $\dfrac{d}{dx}f^g = f^g\left(g'\ln f + \dfrac{gf'}{f}\right)$

## Ideas clave

- La derivada de $x^x$ es $x^x(\ln x + 1)$.
- No sirve ni la regla de la potencia ni la de la exponencial, porque cambian tanto la base como el exponente.
- Toma $\ln$ en ambos lados (derivación logarítmica), o reescribe $x^x = e^{x\ln x}$ y usa la regla de la cadena.
- La gráfica tiene un mínimo en $x = \frac{1}{e}$, donde $\ln x + 1 = 0$.

La **derivada de $x^x$ es $x^x(\ln x + 1)$**. Es el ejemplo clásico de función que necesita [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation).

$$\frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1), \qquad x > 0$$

## Por qué fallan las reglas habituales

| Función | Base | Exponente | Regla | Derivada |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $x^3$ | variable | constante | regla de la potencia | $3x^2$ |
| $3^x$ | constante | variable | regla de la exponencial | $3^x\ln 3$ |
| $x^x$ | variable | variable | ninguna por sí sola | $x^x(\ln x + 1)$ |

Aplicar la regla de la potencia da $x\cdot x^{x-1} = x^x$, y aplicar la regla de la exponencial da $x^x\ln x$. Las dos son incorrectas. Curiosamente, el resultado correcto es su suma.

## Método 1: derivación logarítmica

Sea $y = x^x$. Toma el logaritmo natural en ambos lados para bajar el exponente:

$$\ln y = x\ln x$$

Deriva ambos lados. El lado izquierdo necesita [derivación implícita](/rules/implicit-differentiation), y el derecho la regla del producto (es la [derivada de x ln x](/derivatives/x-ln-x)):

$$\frac{1}{y}\cdot\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

Multiplica por $y = x^x$:

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

## Método 2: reescribir con base e

Como $x = e^{\ln x}$, tenemos $x^x = e^{x\ln x}$. Ahora usa la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) con función exterior $e^u$:

$$\frac{d}{dx}e^{x\ln x} = e^{x\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln x) = x^x(\ln x + 1)$$

En el fondo, los dos métodos son la misma idea. Usa el que te resulte más natural.

## Gráfica de xˣ y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = xˣ y de su derivada'
caption: 'La curva baja hasta su valor mínimo, aproximadamente $0.692$, en $x = \frac{1}{e}$, y luego crece muy deprisa. En $x = 1$ tanto el valor como la pendiente valen $1$.'
x: [-0.2, 2.2]
y: [-1.5, 6]
functions:
  - expr: x^x
    label: y = xˣ
    domain: [0.01, 2.1]
  - expr: x^x*(ln(x) + 1)
    label: y = xˣ(ln x + 1) (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.08, 1.75]
points:
  - [0.3679, 0.6922, 'mínimo (1/e; 0,692)']
  - [1, 1, '(1, 1), pendiente 1']
```

Como $x^x > 0$, el signo de la derivada depende solo de $\ln x + 1$. Es negativa para $x < \frac{1}{e}$ y positiva después, así que el mínimo está en $x = \frac{1}{e}$. Su valor es $\left(e^{-1}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: pendiente en x = 2.** $\frac{d}{dx}x^x\big|_{x = 2} = 2^2(\ln 2 + 1) = 4(1.693) \approx 6.77$.

**Ejemplo 2: x elevado a sen x.** Sea $y = x^{\sin x}$. Entonces $\ln y = \sin x\ln x$, y

$$\frac{y'}{y} = \cos x\ln x + \frac{\sin x}{x} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

**Ejemplo 3: x elevado a 1/x.** Sea $y = x^{1/x}$. Entonces $\ln y = \frac{\ln x}{x}$, y la regla del cociente da

$$\frac{y'}{y} = \frac{1 - \ln x}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad y' = x^{1/x}\cdot\frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Vale cero en $x = e$, así que $x^{1/x}$ alcanza su máximo en $x = e$, con valor $e^{1/e} \approx 1.445$.

**Ejemplo 4: x elevado a x al cuadrado.** Para $y = x^{x^2}$, $\ln y = x^2\ln x$, así que $y' = x^{x^2}(2x\ln x + x)$.

## Errores comunes

1. **Regla de la potencia:** $x\cdot x^{x-1} = x^x$. Incorrecto, porque el exponente no es constante.
2. **Regla de la exponencial:** $x^x\ln x$. Incorrecto, porque la base no es constante.
3. **Olvidar multiplicar por $y$ al final** de la derivación logarítmica, dejando solo $\ln x + 1$.

Para más sobre este método, consulta los [ejercicios de derivación implícita](/practice-problems/implicit-differentiation) y la [derivada de 2ˣ y aˣ](/derivatives/2-to-the-x).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de x^x?

La derivada de $x^x$ es $x^x(\ln x + 1)$, para $x > 0$.

### ¿Por qué no puedo usar la regla de la potencia con x^x?

La regla de la potencia necesita un exponente constante, y la regla de la exponencial necesita una base constante. En $x^x$ cambian las dos, así que hay que usar la derivación logarítmica o reescribirla como $e^{x\ln x}$.

### ¿Cuál es la derivada de x^(sen x)?

Con derivación logarítmica: $x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$.

### ¿Dónde está el mínimo de x^x?

En $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, donde la derivada vale cero. El valor mínimo es $\left(\frac{1}{e}\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.692$.