# Derivada de xeˣ: fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de xeˣ es eˣ(x + 1). Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = −1, el patrón de la derivada n-ésima, una gráfica y ejemplos resueltos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-x-por-e-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,xe^x = e^x(x + 1) $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $e^x(x + 1)$
- **Segunda derivada:** $e^x(x + 2)$
- **Derivada n-ésima:** $e^x(x + n)$
- **Mínimo:** $x = -1$, valor $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Integral:** $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$

## Ideas clave

- La derivada de $xe^x$ es $e^x + xe^x = e^x(x + 1)$, por la regla del producto.
- Cada nueva derivada suma $1$ dentro del paréntesis: la derivada $n$-ésima es $e^x(x + n)$.
- La función tiene un mínimo en $x = -1$ y un punto de inflexión en $x = -2$.
- Sacar $e^x$ como factor común facilita igualar la derivada a cero, ya que $e^x$ nunca vale $0$.

La **derivada de $xe^x$ es $e^x(x + 1)$**. Es un producto de $x$ y $e^x$, así que la herramienta adecuada es la [regla del producto](/rules/product-rule).

$$\frac{d}{dx}\,xe^x = e^x + xe^x = e^x(x + 1)$$

## Paso a paso con la regla del producto

Con $f = x$ y $g = e^x$, la regla del producto $(fg)' = f'g + fg'$ da:

1. $f' = 1$.
2. $g' = e^x$, ya que la [derivada de eˣ](/derivatives/e-to-the-x) es ella misma.
3. Combina: $1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x + xe^x$.
4. Saca $e^x$ como factor común: $e^x(x + 1)$.

La forma factorizada es más útil. Como $e^x$ nunca vale cero, la derivada solo se anula donde $x + 1 = 0$.

## Gráfica de xeˣ y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = xeˣ y de su derivada y = eˣ(x + 1)'
caption: 'La función tiene su punto más bajo en $x = -1$, donde la derivada cruza el cero. Hacia la izquierda se aplana hacia $0$; hacia la derecha se dispara.'
x: [-6, 2]
y: [-1, 4]
functions:
  - expr: x*exp(x)
    label: y = xeˣ
    domain: [-6, 1.2]
  - expr: (x+1)*exp(x)
    label: y = eˣ(x + 1) (derivada)
    dashed: true
    domain: [-6, 0.75]
points:
  - [-1, -0.3679, 'mínimo (−1, −1/e)']
  - [-2, -0.2707, 'inflexión (−2, −2/e²)']
```

## Mínimo y punto de inflexión

**Mínimo.** La derivada $e^x(x + 1)$ es negativa para $x < -1$ y positiva para $x > -1$. Así que $x = -1$ es un mínimo, con valor

$$(-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

**Punto de inflexión.** La segunda derivada es

$$\frac{d}{dx}\,e^x(x + 1) = e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$$

Cambia de signo en $x = -2$, así que ahí la gráfica pasa de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba. El punto es $\left(-2, -\frac{2}{e^2}\right) \approx (-2, -0.271)$.

## El patrón de la derivada n-ésima

Cada vez que derivas $e^x(x + k)$, obtienes $e^x(x + k) + e^x = e^x(x + k + 1)$. Así:

| Derivada | Resultado |
| --- | --- |
| $f'(x)$ | $e^x(x + 1)$ |
| $f''(x)$ | $e^x(x + 2)$ |
| $f'''(x)$ | $e^x(x + 3)$ |
| $f^{(n)}(x)$ | $e^x(x + n)$ |

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: la versión decreciente.** Para $f(x) = xe^{-x}$, usa la regla de la cadena en $e^{-x}$ (consulta [e^(−x)](/derivatives/e-to-the-negative-x)):

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$$

Ahora el punto crítico es un máximo en $x = 1$.

**Ejemplo 2: una potencia mayor.** Para $g(x) = x^2e^x$,

$$g'(x) = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(x + 2)$$

Los puntos críticos están en $x = 0$ y $x = -2$.

**Ejemplo 3: un exponente con factor.** Para $h(x) = xe^{3x}$,

$$h'(x) = e^{3x} + 3xe^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$$

**Ejemplo 4: una recta tangente.** En $x = 0$, $xe^x = 0$ y la pendiente es $e^0(0 + 1) = 1$. La recta tangente es $y = x$.

## Errores comunes

1. **Multiplicar las dos derivadas.** $1\cdot e^x = e^x$ no es la regla del producto; pierde el término $xe^x$.
2. **Dar $xe^x$ como resultado.** La derivada de $e^x$ es $e^x$, pero el producto con $x$ sigue necesitando la regla del producto.
3. **No factorizar.** Dejar $e^x + xe^x$ es correcto, pero factorizar hace mucho más fácil encontrar los puntos críticos.

En sentido inverso, $\int xe^x\,dx = e^x(x - 1) + C$ por integración por partes; consulta la [integral de xeˣ](/integrals/x-e-to-the-x). Compruébalo: $\frac{d}{dx}e^x(x - 1) = e^x(x - 1) + e^x = xe^x$. Practica con los [ejercicios de la regla del producto y del cociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de xe^x?

La derivada de $xe^x$ es $e^x + xe^x$, que se factoriza como $e^x(x + 1)$.

### ¿Cuál es la segunda derivada de xe^x?

Deriva $e^x(x + 1)$ con la regla del producto: $e^x(x + 1) + e^x = e^x(x + 2)$.

### ¿Cuál es la derivada n-ésima de xe^x?

Es $e^x(x + n)$. Cada derivada añade un término $e^x$ más.

### ¿Cuál es la derivada de xe^(−x)?

Por la regla del producto, $e^{-x} - xe^{-x} = e^{-x}(1 - x)$.