# Derivada de x ln x: fórmula, pasos y ejemplos

> La derivada de x ln x es ln x + 1. Pasos con la regla del producto, el mínimo en x = 1/e, la segunda derivada, una gráfica y ejemplos parecidos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-x-por-ln-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1 $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\ln x + 1$ para $x > 0$
- **Segunda derivada:** $\dfrac{1}{x}$
- **Mínimo:** $x = \frac{1}{e}$, valor $-\frac{1}{e} \approx -0.368$
- **Límite en 0:** $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$
- **Integral:** $\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $x\ln x$ es $\ln x + 1$, y se obtiene con la regla del producto.
- Al resolver $\ln x + 1 = 0$ se obtiene un mínimo en $x = \frac{1}{e}$, con valor $-\frac{1}{e}$.
- La segunda derivada es $\frac{1}{x} > 0$, así que la gráfica es cóncava hacia arriba en todo su dominio.
- Leído al revés, el resultado muestra que $\int(\ln x + 1)\,dx = x\ln x + C$, el paso clave para integrar $\ln x$.

La **derivada de $x\ln x$ es $\ln x + 1$**. Es un producto, así que la [regla del producto](/rules/product-rule) hace todo el trabajo.

$$\frac{d}{dx}\,x\ln x = \ln x + 1, \qquad x > 0$$

## Paso a paso con la regla del producto

La regla del producto dice $(fg)' = f'g + fg'$. Toma $f = x$ y $g = \ln x$:

1. $f' = 1$.
2. $g' = \frac{1}{x}$, por la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x).
3. Combina: $1\cdot\ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1$.

La $x$ de delante se simplifica con el $\frac{1}{x}$ del logaritmo y deja un resultado limpio.

## Gráfica de x ln x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = x ln x y de su derivada y = ln x + 1'
caption: 'La función baja hasta un mínimo de $-\frac{1}{e}$ en $x = \frac{1}{e}$, justo donde su derivada cruza el cero.'
x: [-0.3, 3]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: x*ln(x)
    label: y = x ln x
    domain: [0.005, 3]
  - expr: ln(x) + 1
    label: y = ln x + 1 (derivada)
    dashed: true
    domain: [0.15, 3]
points:
  - [0.3679, -0.3679, 'mínimo (1/e, −1/e)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

## Cálculo del mínimo

Iguala la derivada a cero:

$$\ln x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = e^{-1} = \frac{1}{e}$$

Para $x < \frac{1}{e}$ la derivada es negativa, y para $x > \frac{1}{e}$ es positiva, así que es un mínimo. Su valor es

$$\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = \frac{1}{e}\cdot(-1) = -\frac{1}{e} \approx -0.368$$

La segunda derivada lo confirma: $\frac{d^2}{dx^2}x\ln x = \frac{1}{x}$, que es positiva para todo $x > 0$, así que la curva es cóncava hacia arriba en todas partes.

## Qué ocurre cerca de x = 0

La gráfica parece empezar en el origen, aunque $x\ln x$ no está definida en $0$. Eso se debe a que $\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0$. Escríbelo como $\frac{\ln x}{1/x}$ y aplica la [regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule):

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+}(-x) = 0$$

Mientras tanto, la pendiente $\ln x + 1$ tiende a $-\infty$, así que la curva sale del origen casi en vertical.

## Ejemplos relacionados

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}(x\ln x - x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x$. Esto muestra que $x\ln x - x$ es una antiderivada de $\ln x$; consulta la [integral de ln x](/integrals/ln-x).

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}x^2\ln x = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x(2\ln x + 1)$.

**Ejemplo 3.** $\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x} = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$, por la [regla del cociente](/rules/quotient-rule). Su máximo está en $x = e$.

**Ejemplo 4.** $\frac{d}{dx}x\ln(3x) = \ln(3x) + 1$, ya que también $\frac{d}{dx}\ln(3x) = \frac{1}{x}$.

## Errores comunes

1. **Multiplicar las derivadas.** $1\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ no es la regla del producto. Necesitas los dos términos.
2. **Olvidar el dominio.** $x\ln x$ solo existe para $x > 0$, así que el mínimo solo se busca ahí.
3. **Confundirla con $x^x$.** $\frac{d}{dx}x^x = x^x(\ln x + 1)$. El factor $\ln x + 1$ aparece porque $x^x = e^{x\ln x}$; consulta la [derivada de xˣ](/derivatives/x-to-the-x).

Para ir en sentido inverso, la [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x) usa integración por partes. Practica más ejercicios de la regla del producto en los [ejercicios de la regla del producto y del cociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de x ln x?

La derivada de $x\ln x$ es $\ln x + 1$.

### ¿Cuál es la segunda derivada de x ln x?

Deriva $\ln x + 1$ y obtienes $\frac{1}{x}$.

### ¿Dónde está el mínimo de x ln x?

En $x = \frac{1}{e} \approx 0.368$, donde $\ln x + 1 = 0$. El valor mínimo es $\frac{1}{e}\ln\frac{1}{e} = -\frac{1}{e}$.

### ¿Cuál es la derivada de x ln x − x?

Es $(\ln x + 1) - 1 = \ln x$. Por eso $\int\ln x\,dx = x\ln x - x + C$.