# Derivada de x: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de x es 1. Demostración con la definición de límite y la regla de la potencia, más las derivadas de 5x, ax + b y de x respecto a otras variables.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,x = 1 $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $1$ para todo $x$ real
- **Múltiplo de x:** $\dfrac{d}{dx}(ax) = a$
- **Función lineal:** $\dfrac{d}{dx}(ax + b) = a$
- **Con la regla de la potencia:** $x = x^1$, así que la derivada es $1 \cdot x^0 = 1$
- **Versión para integrales:** $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $x$ es $1$, porque la recta $y = x$ tiene pendiente $1$ en todas partes.
- Cualquier múltiplo funciona igual: $\frac{d}{dx}(ax) = a$, así que $\frac{d}{dx}(5x) = 5$.
- Las constantes sumadas no cambian la pendiente: $\frac{d}{dx}(ax + b) = a$.
- Respecto a otra variable, $x$ puede ser una constante: $\frac{d}{dt}\,x = 0$ si $x$ no depende de $t$.

La **derivada de $x$ es $1$**. La función $y = x$ es una recta con pendiente $1$, y la derivada de una recta es simplemente su pendiente.

$$\frac{d}{dx}\,x = 1$$

## Gráfica de x y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = x y de su derivada y = 1'
caption: 'La recta $y = x$ tiene la misma pendiente en todas partes, así que su derivada es la recta horizontal $y = 1$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: x
    label: y = x
  - expr: 1
    label: y = 1 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [2, 2, '(2, 2)']
  - [2, 1, 'pendiente 1']
```

Como la pendiente nunca cambia, la derivada es una constante. Toma dos puntos cualesquiera de la recta: el avance vertical siempre es igual al horizontal.

## Demostración con la definición de límite

La [definición de derivada como límite](/blog/limit-definition-of-the-derivative) dice

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Con $f(x) = x$:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) - x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1$$

La $h$ se simplifica antes incluso de tomar el límite, así que no hay nada complicado que resolver.

## Demostración con la regla de la potencia

Escribe $x$ como $x^1$. La [regla de la potencia](/rules/power-rule) dice que bajes el exponente y lo reduzcas en uno:

$$\frac{d}{dx}\,x^1 = 1 \cdot x^0 = 1$$

Esto usa $x^0 = 1$, que es válido para todo $x \ne 0$, y la demostración con límites cubre también $x = 0$.

## Múltiplos y funciones lineales

Con la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule) y la [regla de la constante](/rules/constant-rule), cualquier función lineal es sencilla:

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $5x$ | $5$ |
| $-x$ | $-1$ |
| $\frac{x}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |
| $3x - 7$ | $3$ |
| $\pi x + e$ | $\pi$ |

La derivada de una recta $y = mx + b$ siempre es $m$, su pendiente. La ordenada en el origen $b$ solo desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo, así que no afecta a su inclinación. Consulta la [derivada de una constante](/derivatives/constant) para ver por qué desaparece la $b$.

## Ejemplos resueltos

**Ejemplo 1: una suma.** Deriva $f(x) = x^2 + 4x - 9$:

$$f'(x) = 2x + 4$$

El término $4x$ aporta $4$ y el $-9$ aporta $0$. El término $x^2$ usa la [derivada de x²](/derivatives/x-squared).

**Ejemplo 2: comprobación con un producto.** Escribe $x^2 = x \cdot x$ y usa la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$\frac{d}{dx}(x \cdot x) = 1 \cdot x + x \cdot 1 = 2x$$

Coincide con la regla de la potencia, lo cual es una buena comprobación.

**Ejemplo 3: otra variable.** En $\frac{d}{dt}(xt)$, donde $x$ no depende de $t$, trata $x$ como una constante: el resultado es $x$.

## Errores comunes

1. **Responder $0$.** Solo las constantes tienen derivada $0$. La función $x$ cambia, así que su derivada es $1$.
2. **Dar $x$ como resultado.** La derivada de $x$ no es $x$. Eso se cumple para $e^x$, no para $x$.
3. **Conservar el término constante.** $\frac{d}{dx}(3x + 7) = 3$, no $3 + 7$ ni $10$.

La pregunta inversa, $\int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C$, está en la página de la [integral de x](/integrals/x). Para practicar, prueba los [ejercicios de la regla de la potencia](/practice-problems/power-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de x?

La derivada de $x$ respecto a $x$ es $1$. La gráfica $y = x$ es una recta que sube 1 unidad por cada unidad hacia la derecha.

### ¿Cuál es la derivada de 2x?

Es $2$. Por la regla del múltiplo constante, $\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot \frac{d}{dx}x = 2 \cdot 1 = 2$.

### ¿Por qué la derivada de x no es 0?

Una derivada igual a $0$ significa que la función es horizontal. La recta $y = x$ no es horizontal: sube con pendiente $1$. Solo las constantes, como $7$ o $\pi$, tienen derivada $0$.

### ¿Cuál es la derivada de x respecto a y?

Si $x$ e $y$ son independientes, $\frac{d}{dy}\,x = 0$. Si $x$ depende de $y$, el resultado es $\frac{dx}{dy}$, que es $\frac{1}{dy/dx}$ cuando $dy/dx \ne 0$.