# Derivada de |x|: fórmula, demostración y ejemplos

> La derivada de |x| es x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 y no existe en 0. Demostración, el pico en 0 y la regla de la cadena para |u|.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/derivadas/derivada-del-valor-absoluto-de-x
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} $$

## De un vistazo

- **Derivada:** $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$ para $x \ne 0$
- **Forma a trozos:** $1$ para $x > 0$, $-1$ para $x < 0$
- **En x = 0:** No existe, la gráfica tiene un pico
- **Con la regla de la cadena:** $\dfrac{d}{dx}\lvert u\rvert = \dfrac{u}{\lvert u\rvert}\,u'$
- **Versión para integrales:** $\int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C$

## Ideas clave

- La derivada de $\lvert x\rvert$ es $1$ para $x > 0$ y $-1$ para $x < 0$.
- Una fórmula compacta es $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, que también se escribe $\operatorname{sgn}(x)$.
- En $x = 0$ las pendientes por la izquierda y por la derecha no coinciden, así que $\lvert x\rvert$ no es derivable ahí.
- $\lvert x\rvert$ es continua en todas partes, así que muestra que continua no implica derivable.

La **derivada de $\lvert x\rvert$ es $\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$**. Dicho de forma sencilla, la pendiente es $1$ a la derecha de $0$, $-1$ a la izquierda de $0$, y en el propio $0$ no hay pendiente.

$$\frac{d}{dx}\,\lvert x\rvert = \frac{x}{\lvert x\rvert} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$$

## Gráfica de |x| y de su derivada

```graph
title: 'Gráfica de y = |x| y de su derivada'
caption: 'La forma de V tiene pendiente $-1$ a la izquierda y $1$ a la derecha. La derivada da un salto en $x = 0$, donde no está definida.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 4]
functions:
  - expr: abs(x)
    label: y = |x|
  - expr: abs(x)/x
    label: derivada
    dashed: true
points:
  - [0, 0, 'pico, sin derivada']
```

## Demostración, trozo a trozo

Divide $\lvert x\rvert$ en sus dos trozos. Para $x > 0$, $\lvert x\rvert = x$, así que la derivada es $1$. Para $x < 0$, $\lvert x\rvert = -x$, así que la derivada es $-1$. En ambos casos el resultado es igual a $\frac{x}{\lvert x\rvert}$: al dividir un número entre su valor absoluto se obtiene simplemente su signo.

## Por qué no hay derivada en 0

Fíjate en el cociente incremental en $x = 0$:

$$\frac{\lvert 0 + h\rvert - \lvert 0\rvert}{h} = \frac{\lvert h\rvert}{h}$$

Por la derecha ($h > 0$) vale $1$. Por la izquierda ($h < 0$) vale $-1$. Los límites laterales no coinciden, así que el límite no existe. La gráfica tiene un pico (un punto anguloso) y ninguna recta tangente única se ajusta a él. Es el ejemplo clásico de la lección sobre [derivabilidad](/learn/calculus-1/the-derivative/differentiability).

Otra forma de escribir el resultado es $\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}$, ya que $\lvert x\rvert = \sqrt{x^2}$. Al derivar $\sqrt{x^2}$ con la [regla de la cadena](/rules/chain-rule) se obtiene $\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}$, la misma fórmula.

## La versión con la regla de la cadena: derivada de |u|

$$\frac{d}{dx}\,\lvert u\rvert = \frac{u}{\lvert u\rvert}\cdot u', \qquad u \ne 0$$

**Ejemplo 1.** $\frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3$, que vale $3$ para $x > 0$ y $-3$ para $x < 0$.

**Ejemplo 2.** $\frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}$. Para $\lvert x\rvert > 2$ esto es $2x$. Para $\lvert x\rvert < 2$ es $-2x$. En $x = \pm 2$ la gráfica tiene picos y no hay derivada.

**Ejemplo 3.** $\frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}$, que no está definida allí donde $\sin x = 0$.

## Una función construida con |x| que sí es derivable

Multiplicar por $x$ suaviza el pico. Toma $f(x) = x\lvert x\rvert$. Para $x > 0$ es $x^2$, para $x < 0$ es $-x^2$, así que $f'(x) = 2\lvert x\rvert$. En $0$ el cociente incremental es $\frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0$, así que $f'(0) = 0$ existe. Esta $f$ es además una antiderivada de $2\lvert x\rvert$, y así se calcula la [integral de |x|](/integrals/absolute-value-of-x).

## Errores comunes

1. **Responder $\lvert 1\rvert = 1$.** La derivada no es $1$ en todas partes. En el lado izquierdo vale $-1$.
2. **Decir que $f'(0) = 0$.** El pico no tiene recta tangente, así que la derivada en $0$ no existe.
3. **Pensar que continua significa derivable.** $\lvert x\rvert$ es continua en $0$, pero aun así no tiene derivada ahí.

Para la función en sí, consulta la página de la [función valor absoluto](/functions/absolute-value-function).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de |x|?

Es $\frac{x}{\lvert x\rvert}$, que vale $1$ cuando $x > 0$ y $-1$ cuando $x < 0$. No existe en $x = 0$.

### ¿Por qué |x| no es derivable en 0?

La pendiente por la derecha es $1$ y la pendiente por la izquierda es $-1$. Los dos límites laterales del cociente incremental son distintos, así que la derivada no existe.

### ¿Cuál es la derivada de |x| en x = 3?

Es $1$, porque cerca de $x = 3$ la función es simplemente $x$.

### ¿Cuál es la derivada de |x - 2|?

Es $\frac{x - 2}{\lvert x - 2\rvert}$: $1$ para $x > 2$, $-1$ para $x < 2$ y no está definida en $x = 2$.