# Ejercicios de antiderivadas (primitivas) resueltos paso a paso > 12 ejercicios de antiderivadas con respuestas y soluciones paso a paso: regla de la potencia, trigonometría, exponenciales y problemas de valor inicial. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-antiderivadas Actualizado: 2026-11-06 $$ \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 6 - **Necesitas:** La [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule) y las derivadas básicas - **Idea principal:** Pregúntate qué función tiene esta derivada y luego suma $+C$ - **Practica con números nuevos:** [Lecciones de antiderivadas](/learn/calculus-1/integrals/undoing-derivatives) ## Ideas clave - Usa la regla de la potencia inversa término a término: suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente. - Reescribe raíces y fracciones como potencias antes de integrar, y recuerda que $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. - En un problema de valor inicial, halla primero la antiderivada general y después usa el punto dado para despejar $C$. Estos **ejercicios de antiderivadas** empiezan con la regla de la potencia y avanzan hasta funciones trigonométricas, exponenciales y problemas de valor inicial. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas. La regla que más vas a usar: $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$ Suma uno al exponente, divide entre el nuevo exponente y añade $+C$. La única excepción es $n = -1$, donde $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Para repasar, lee la página de la [regla de la potencia inversa](/rules/reverse-power-rule). ## Ejercicios **Regla de la potencia** 1. $\displaystyle\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx$ 2. $\displaystyle\int 3\sqrt{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int \frac{1}{x^3}\,dx$ 4. $\displaystyle\int \frac{5}{x}\,dx$ **Trigonométricas y exponenciales** 5. $\displaystyle\int (2e^x + \cos x)\,dx$ 6. $\displaystyle\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx$ 7. $\displaystyle\int \frac{4}{1 + x^2}\,dx$ **Simplifica primero** 8. $\displaystyle\int (x^2 + 1)^2\,dx$ 9. $\displaystyle\int \frac{x^2 + 3}{\sqrt{x}}\,dx$ **Problemas de valor inicial** 10. Halla $f(x)$ si $f'(x) = 6x^2 - 4$ y $f(1) = 5$. 11. Halla $f(x)$ si $f''(x) = 12x$, $f'(0) = 3$ y $f(0) = -1$. 12. Una partícula tiene velocidad $v(t) = 3t^2 - 2t$ y posición $s(0) = 4$. Halla $s(2)$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $x^4 - 3x^2 + 2x + C$ | | 2 | $2x^{3/2} + C$ | | 3 | $-\dfrac{1}{2x^2} + C$ | | 4 | $5\ln\lvert x\rvert + C$ | | 5 | $2e^x + \sin x + C$ | | 6 | $\tan x + 3\cos x + C$ | | 7 | $4\arctan x + C$ | | 8 | $\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} + x + C$ | | 9 | $\dfrac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$ | | 10 | $f(x) = 2x^3 - 4x + 7$ | | 11 | $f(x) = 2x^3 + 3x - 1$ | | 12 | $s(2) = 8$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Integra término a término. $4x^3$ se convierte en $x^4$, $-6x$ en $-3x^2$ y $2$ en $2x$: $$\int (4x^3 - 6x + 2)\,dx = x^4 - 3x^2 + 2x + C$$ **2.** Escribe $\sqrt{x} = x^{1/2}$. El nuevo exponente es $\frac{3}{2}$, así que divide entre $\frac{3}{2}$: $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} + C = 2x^{3/2} + C$$ **3.** Escribe $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. El nuevo exponente es $-2$: $$\frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$ **4.** Este es el caso $n = -1$, así que la regla de la potencia no se aplica. Usa la regla del logaritmo (consulta la [integral de 1/x](/integrals/1-over-x)): $$\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x| + C$$ **5.** La derivada de $e^x$ es $e^x$ y la derivada de $\sin x$ es $\cos x$, así que: $$\int (2e^x + \cos x)\,dx = 2e^x + \sin x + C$$ **6.** La derivada de $\tan x$ es $\sec^2 x$. La antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x$, así que $-3\sin x$ da $+3\cos x$: $$\int (\sec^2 x - 3\sin x)\,dx = \tan x + 3\cos x + C$$ **7.** La derivada de $\arctan x$ es $\frac{1}{1+x^2}$: $$\int \frac{4}{1+x^2}\,dx = 4\arctan x + C$$ **8.** Desarrolla primero: $(x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1$. Después integra cada término: $$\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x + C$$ **9.** Separa la fracción: $\frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}} = x^{3/2} + 3x^{-1/2}$. Entonces: $$\frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + 6x^{1/2} + C$$ **10.** La antiderivada general es $f(x) = 2x^3 - 4x + C$. Usa $f(1) = 5$: $2 - 4 + C = 5$, así que $C = 7$: $$f(x) = 2x^3 - 4x + 7$$ **11.** Integra dos veces, usando una condición cada vez. Primero $f'(x) = 6x^2 + C_1$, y $f'(0) = 3$ da $C_1 = 3$. Después $f(x) = 2x^3 + 3x + C_2$, y $f(0) = -1$ da $C_2 = -1$: $$f(x) = 2x^3 + 3x - 1$$ **12.** La posición es una antiderivada de la velocidad: $s(t) = t^3 - t^2 + C$. Como $s(0) = 4$, $C = 4$. Entonces: $$s(2) = 8 - 4 + 4 = 8$$ ## Errores comunes en estos ejercicios - **Olvidar el $+C$.** Una integral indefinida es toda una familia de funciones. Omitir el $+C$ resta puntos en la mayoría de los exámenes. - **Usar la regla de la potencia con $\frac{1}{x}$.** Daría $\frac{x^0}{0}$, que no está definido. La respuesta es $\ln|x| + C$. - **Errores de signo con seno y coseno.** La antiderivada de $\sin x$ es $-\cos x$, no $\cos x$. Deriva tu respuesta para comprobarlo. - **Integrar un producto factor por factor.** En el ejercicio 8, $\int (x^2+1)^2\,dx$ no es $\frac{(x^2+1)^3}{3}$. Desarrolla primero, o comprueba derivando. - **Despejar $C$ demasiado tarde.** En el ejercicio 11, halla $C_1$ antes de volver a integrar, o acabarás con un término desconocido $C_1 x$. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la [lección de la regla de la potencia inversa](/learn/calculus-1/integrals/reverse-power-rule) y la [lección de integrales trigonométricas y exponenciales](/learn/calculus-1/integrals/trig-exponential-integrals). Cuando las antiderivadas te resulten fáciles, pasa a los [ejercicios de integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals) y a los [ejercicios de sustitución](/practice-problems/u-substitution). Para entender las ideas de fondo, lee la [guía de antiderivadas](/blog/antiderivatives). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se comprueba una antiderivada? Deriva tu respuesta. Si obtienes la función de partida, la antiderivada es correcta. Esta comprobación lleva unos segundos y detecta la mayoría de los errores de signo y de coeficiente. ### ¿Por qué se suma +C a una antiderivada? Toda constante tiene derivada cero, así que $x^2$, $x^2 + 5$ y $x^2 - 3$ tienen todas derivada $2x$. El $+C$ las representa a todas a la vez. Una condición inicial selecciona un único valor de $C$. ### ¿Existe una regla del producto para antiderivadas? No. La integral de un producto no es el producto de las integrales. Desarrolla o simplifica primero, como en el ejercicio 8 de abajo, o usa la [sustitución](/practice-problems/u-substitution) o la integración por partes para productos más difíciles.