# Ejercicios resueltos de aproximación lineal con respuestas

> 12 ejercicios de aproximación lineal con respuestas y soluciones completas: linealización, estimar raíces y logaritmos, diferenciales y error.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-aproximacion-lineal
Actualizado: 2026-11-06

$$ L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 4
- **Necesitas:** Derivadas y [rectas tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines)
- **Idea principal:** Cerca de x = a, una función se parece a su recta tangente, así que usa la recta para estimar
- **Practica con números nuevos:** [Lección de aproximación lineal](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt)

## Ideas clave

- Elige un punto $a$ cercano al valor que buscas donde $f(a)$ y $f'(a)$ se calculen exactamente con facilidad.
- Si $f'' < 0$ cerca de $a$, la recta tangente queda por encima de la curva y la estimación es demasiado grande. Si $f'' > 0$, es demasiado pequeña.
- Las diferenciales usan la misma idea: $dy = f'(x)\,dx$ estima el cambio $\Delta y$.

Estos **ejercicios de aproximación lineal** empiezan construyendo una linealización, la usan para estimar raíces, senos, logaritmos y potencias, y luego pasan a diferenciales, error de medida y estimaciones por exceso o por defecto. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

La linealización de $f$ en $x = a$ es su recta tangente:

$$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$

Para $x$ cerca de $a$, $f(x) \approx L(x)$. Para ver el razonamiento y más ejemplos, lee la [guía de aproximación lineal](/blog/linear-approximation).

## Ejercicios

**Linealización**

1. Halla la linealización de $f(x) = \sqrt{x}$ en $a = 4$.
2. Usa el ejercicio 1 para estimar $\sqrt{4.1}$.
3. Estima $\sqrt[3]{8.2}$.

**Estimar valores**

4. Estima $\sin(0.1)$.
5. Estima $\ln(1.05)$.
6. Estima $e^{0.02}$.
7. Estima $(1.01)^{10}$.
8. Estima $\cos 62^\circ$.

**Diferenciales y error**

9. Para $y = x^3$, halla $dy$ y $\Delta y$ cuando $x = 2$ y $dx = 0.1$.
10. El radio de una bola mide $10$ cm con un posible error de $0.05$ cm. Estima el posible error en el volumen calculado.

**Usar el resultado**

11. ¿La estimación del ejercicio 2 es por exceso o por defecto? Explica por qué.
12. Una función cumple $f(3) = 5$ y $f'(3) = -2$. Estima $f(3.2)$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $L(x) = 2 + \dfrac{1}{4}(x - 4)$ |
| 2 | $2.025$ (valor real $2.02485\ldots$) |
| 3 | $2 + \dfrac{1}{60} \approx 2.0167$ (valor real $2.01653\ldots$) |
| 4 | $0.1$ (valor real $0.09983\ldots$) |
| 5 | $0.05$ (valor real $0.04879\ldots$) |
| 6 | $1.02$ (valor real $1.02020\ldots$) |
| 7 | $1.1$ (valor real $1.10462\ldots$) |
| 8 | $\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.4698$ (valor real $0.46947\ldots$) |
| 9 | $dy = 1.2$, $\Delta y = 1.261$ |
| 10 | Unos $20\pi \approx 62.8$ cm³ (un error relativo del $1.5\%$) |
| 11 | Por exceso, porque $\sqrt{x}$ es cóncava hacia abajo |
| 12 | $4.6$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** $f(4) = 2$ y $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, así que $f'(4) = \frac{1}{4}$:

$$L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$$

**2.** Sustituye $x = 4.1$ en la recta:

$$\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$$

**3.** Usa $f(x) = \sqrt[3]{x}$ en $a = 8$, ya que $\sqrt[3]{8} = 2$. La derivada es $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$, así que $f'(8) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{12}$:

$$\sqrt[3]{8.2} \approx 2 + \frac{1}{12}(0.2) = 2 + \frac{1}{60} \approx 2.0167$$

**4.** Usa $f(x) = \sin x$ en $a = 0$. $f(0) = 0$ y $f'(0) = \cos 0 = 1$, así que $L(x) = x$:

$$\sin(0.1) \approx 0.1$$

Es la aproximación para ángulos pequeños $\sin x \approx x$, que solo funciona en radianes.

**5.** Usa $f(x) = \ln x$ en $a = 1$. $f(1) = 0$ y $f'(1) = 1$, así que $L(x) = x - 1$:

$$\ln(1.05) \approx 0.05$$

**6.** Usa $f(x) = e^x$ en $a = 0$. $f(0) = 1$ y $f'(0) = 1$, así que $L(x) = 1 + x$:

$$e^{0.02} \approx 1.02$$

**7.** Usa $f(x) = x^{10}$ en $a = 1$. $f(1) = 1$ y $f'(x) = 10x^9$, así que $f'(1) = 10$:

$$(1.01)^{10} \approx 1 + 10(0.01) = 1.1$$

**8.** Trabaja en radianes. Usa $a = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$, donde $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ y la pendiente es $-\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. El incremento es $2^\circ = \frac{2\pi}{180} = \frac{\pi}{90}$:

$$\cos 62^\circ \approx \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\pi}{90} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}\,\pi}{180} \approx 0.5 - 0.0302 = 0.4698$$

**9.** La diferencial es $dy = f'(x)\,dx = 3x^2\,dx$:

$$dy = 3(2)^2(0.1) = 1.2$$

El cambio real es $\Delta y = (2.1)^3 - 2^3 = 9.261 - 8 = 1.261$. La diferencial es una estimación cercana y más sencilla.

**10.** El volumen es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, así que $dV = 4\pi r^2\,dr$:

$$dV = 4\pi(10)^2(0.05) = 20\pi \approx 62.8 \text{ cm}^3$$

El volumen es $\frac{4000\pi}{3} \approx 4189$ cm³, así que el error relativo es $\frac{20\pi}{4000\pi/3} = 0.015$, o $1.5\%$. Es el triple del error del $0.5\%$ en el radio, porque el radio está elevado al cubo.

**11.** Para $f(x) = \sqrt{x}$, $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$, así que la gráfica es cóncava hacia abajo. Una curva cóncava hacia abajo queda por debajo de sus rectas tangentes, así que la estimación $2.025$ es un poco grande. El valor real $2.02485$ lo confirma.

**12.** Usa la linealización en $a = 3$:

$$f(3.2) \approx f(3) + f'(3)(0.2) = 5 - 2(0.2) = 4.6$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Elegir un $a$ lejano.** Para estimar $\sqrt{4.1}$, usa $a = 4$, no $a = 1$. Cuanto más cerca esté $a$, mejor será la estimación.
- **Usar grados.** En el ejercicio 8 el incremento debe estar en radianes, $\frac{\pi}{90}$, no $2$.
- **Confundir $dy$ y $\Delta y$.** $dy$ es el cambio a lo largo de la recta tangente, y $\Delta y$ es el cambio real a lo largo de la curva.
- **Calcular mal $x - a$.** En el ejercicio 3 el incremento es $8.2 - 8 = 0.2$, no $8.2$.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la [lección de aproximación lineal y TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). El [Teorema del Valor Medio](/practice-problems/mean-value-theorem) es la versión exacta de la misma idea: la pendiente media en un intervalo es igual a la pendiente de la tangente en algún punto interior. Cuando necesites más precisión de la que da una recta, el siguiente paso son los [polinomios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la fórmula de la aproximación lineal?

La linealización de $f$ en $x = a$ es $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, que es la recta tangente en $a$. Para $x$ cerca de $a$, $f(x) \approx L(x)$.

### ¿Cómo se elige a en una aproximación lineal?

Elige un valor cercano al número que quieres estimar donde la función sea fácil de evaluar exactamente. Para estimar $\sqrt{4.1}$, usa $a = 4$. Para estimar $\sqrt[3]{8.2}$, usa $a = 8$. Para estimar $\sin(0.1)$, usa $a = 0$.

### ¿Cómo saber si una aproximación lineal es por exceso?

Mira la concavidad. Si la gráfica es cóncava hacia abajo cerca de $a$ ($f'' < 0$), la recta tangente queda por encima y la estimación es demasiado grande. Si es cóncava hacia arriba ($f'' > 0$), la estimación es demasiado pequeña.