# Ejercicios de área entre curvas resueltos con respuestas

> 10 ejercicios de área entre curvas con respuestas y soluciones completas: puntos de corte, curva superior menos inferior, curvas que se cruzan e integrar en y.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-area-entre-curvas
Actualizado: 2026-11-06

$$ A = \int_a^b \big(\text{superior}(x) - \text{inferior}(x)\big)\,dx $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 10, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1, Cálculo 2 y AP Calculus, unidad 8
- **Necesitas:** [Integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals) y resolver ecuaciones
- **Idea principal:** Integra la curva superior menos la curva inferior entre los puntos donde se cortan
- **Practica con números nuevos:** [Lección de área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves)

## Ideas clave

- Iguala las curvas para hallar dónde se cortan. Esos valores de $x$ son los límites de integración.
- Prueba un punto entre los límites para ver qué curva está arriba. Si se cruzan dentro del intervalo, divide la integral en ese punto.
- Cuando la región está limitada a izquierda y derecha, integra en $y$: curva derecha menos curva izquierda.

Estos **ejercicios de área entre curvas** empiezan con regiones sencillas y pasan a curvas que se cruzan y a integrar respecto a $y$. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La fórmula:

$$A = \int_a^b \big(\text{superior}(x) - \text{inferior}(x)\big)\,dx$$

Halla dónde se cortan las curvas, decide cuál está arriba e integra la diferencia. Para una explicación más larga con dibujos, lee la [guía de área entre curvas](/blog/area-between-curves).

```graph
title: 'Región entre y = x e y = x²'
caption: 'Ejercicio 1: la recta está arriba entre x = 0 y x = 1.'
x: [-0.5, 1.5]
y: [-0.5, 1.5]
functions:
  - expr: 'x'
    label: 'y = x'
  - expr: 'x^2'
    label: 'y = x²'
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1, '(1, 1)']
```

## Ejercicios

**Dos curvas, una región**

1. $y = x$ e $y = x^2$
2. $y = 4 - x^2$ e $y = 0$
3. $y = 2x$ e $y = x^2$
4. $y = x^2 - 4$ e $y = 2 - x$
5. $y = \sqrt{x}$ e $y = x^2$

**Con límites dados**

6. $y = \cos x$ e $y = \sin x$ desde $x = 0$ hasta $x = \frac{\pi}{4}$
7. $y = e^x$ e $y = 1$ desde $x = 0$ hasta $x = 1$
8. $y = x$ e $y = \frac{1}{x}$ desde $x = 1$ hasta $x = 2$

**Planteamientos más difíciles**

9. La región limitada por $x = y^2$ y $x = y + 2$
10. El área total entre $y = x^3$ e $y = x$ en $[-1, 1]$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\frac{1}{6}$ |
| 2 | $\frac{32}{3}$ |
| 3 | $\frac{4}{3}$ |
| 4 | $\frac{125}{6}$ |
| 5 | $\frac{1}{3}$ |
| 6 | $\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$ |
| 7 | $e - 2 \approx 0.718$ |
| 8 | $\frac{3}{2} - \ln 2 \approx 0.807$ |
| 9 | $\frac{9}{2}$ |
| 10 | $\frac{1}{2}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Iguala $x = x^2$: $x = 0$ o $x = 1$. En $x = \frac{1}{2}$, la recta da $0.5$ y la parábola $0.25$, así que la recta está arriba:

$$\int_0^1(x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$$

**2.** La parábola corta al eje $x$ en $x = \pm 2$:

$$\int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}$$

**3.** Iguala $2x = x^2$: $x = 0$ o $x = 2$. En $x = 1$, la recta está más alta:

$$\int_0^2(2x - x^2)\,dx = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

**4.** Iguala $x^2 - 4 = 2 - x$: $x^2 + x - 6 = 0$, así que $x = -3$ o $x = 2$. En $x = 0$, la recta da $2$ y la parábola $-4$, así que la recta está arriba:

$$\int_{-3}^{2}(6 - x - x^2)\,dx = \left[6x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{-3}^{2} = \frac{22}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{125}{6}$$

**5.** Las curvas se cortan en $x = 0$ y $x = 1$, y $\sqrt{x}$ está arriba entre ambos puntos:

$$\int_0^1\left(x^{1/2} - x^2\right)dx = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

**6.** En $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$, $\cos x \geq \sin x$:

$$\int_0^{\pi/4}(\cos x - \sin x)\,dx = \Big[\sin x + \cos x\Big]_0^{\pi/4} = \sqrt{2} - 1$$

**7.** En $[0, 1]$, $e^x \geq 1$:

$$\int_0^1(e^x - 1)\,dx = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$$

**8.** Para $x > 1$, $x > \frac{1}{x}$:

$$\int_1^2\left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$

**9.** Ambas curvas están escritas como $x$ en función de $y$, así que integra en $y$. Iguala $y^2 = y + 2$: $y = -1$ o $y = 2$. En $y = 0$, la recta da $x = 2$ y la parábola $x = 0$, así que la recta está a la derecha:

$$\int_{-1}^{2}(y + 2 - y^2)\,dy = \left[\frac{y^2}{2} + 2y - \frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}$$

**10.** Las curvas se cortan en $x = -1, 0, 1$. En $[0, 1]$, $x \geq x^3$. En $[-1, 0]$, $x^3 \geq x$. Por simetría, los dos trozos son iguales:

$$2\int_0^1(x - x^3)\,dx = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}$$

Integrar $x - x^3$ sobre $[-1, 1]$ de una sola vez da $0$, lo cual es incorrecto.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Restar inferior menos superior.** Una respuesta negativa es la señal. Prueba un punto para encontrar la curva superior.
- **No dividir en un cruce.** En el ejercicio 10, una sola integral cancela las dos regiones y da $0$.
- **Usar límites equivocados.** Los límites salen de donde se cortan las curvas, no de los cortes de una curva con el eje $x$.
- **Mezclar $x$ e $y$.** En el ejercicio 9, tanto el integrando como los límites deben estar en $y$.

## Sigue practicando

Para practicar con regiones sin límite y corrección al instante, prueba la [lección de área entre curvas](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/area-between-curves) y el [bloque de práctica de aplicaciones](/learn/calculus-1/applications-of-integrals/applications-practice). Después, haz girar estas regiones alrededor de un eje en los [ejercicios de volúmenes de revolución](/practice-problems/volumes-of-revolution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se sabe qué curva está arriba?

Elige cualquier $x$ entre los límites y sustitúyelo en ambas funciones. El valor mayor corresponde a la curva superior en todo ese tramo, siempre que las curvas no se crucen dentro de él.

### ¿Puede ser negativa el área entre curvas?

No. El área siempre es positiva. Si obtienes un número negativo, restaste en el orden equivocado. Si las curvas se cruzan, divide la integral para que cada trozo sea superior menos inferior.

### ¿Cuándo conviene integrar respecto a y?

Cuando las curvas son más fáciles de escribir como $x = f(y)$, o cuando integrar en $x$ requeriría varios trozos. El ejercicio 9 es una sola integral en $y$ pero dos en $x$.