# Ejercicios de límites resueltos paso a paso con respuestas

> 12 ejercicios de límites con respuestas y soluciones paso a paso: sustitución directa, factorizar 0/0, conjugado, límites trigonométricos y límites laterales.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-calculo-de-limites
Actualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \text{ cuando } f \text{ es continua en } a $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 1
- **Necesitas:** Factorización, fracciones y las [propiedades de los límites](/rules/limit-laws)
- **Idea principal:** Sustituye primero. Si obtienes 0/0, simplifica y vuelve a sustituir
- **Practica con números nuevos:** [Lecciones de límites](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution)

## Ideas clave

- Prueba siempre primero la sustitución directa. Si sale un número real, has terminado.
- Un resultado $\frac{0}{0}$ significa "simplifica primero": factoriza, cancela, usa el conjugado o combina fracciones, y luego vuelve a sustituir.
- Un número distinto de cero entre $0$ significa que el límite es infinito o no existe, así que revisa los dos límites laterales.

Estos **ejercicios de cálculo de límites** cubren todos los métodos que necesitas para límites finitos: sustitución directa, factorización, conjugados, combinación de fracciones, los límites trigonométricos notables y los límites laterales. Intenta cada ejercicio primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

La estrategia para todos los ejercicios:

$$\text{sustituye} \;\to\; \text{si sale } \tfrac{0}{0},\ \text{simplifica} \;\to\; \text{vuelve a sustituir}$$

Para repasar por qué funciona, lee [cómo calcular límites](/blog/how-to-evaluate-limits) y la regla de [sustitución directa](/rules/direct-substitution).

## Ejercicios

**Sustitución directa**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 2}\,(3x^2 - 5x + 1)$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{e^x + \cos x}{x + 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{\sqrt{x + 6}}{x - 1}$

**Factorizar una forma 0/0**

4. $\displaystyle\lim_{x\to 3}\,\frac{x^2 - 9}{x - 3}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to -2}\,\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 4}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\,\frac{x^3 - 1}{x - 1}$

**Conjugados y fracciones**

7. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 4}\,\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{4}}{x - 4}$

**Límites trigonométricos**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{\sin(5x)}{x}$
10. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{1 - \cos x}{x^2}$

**Límites laterales**

11. $\displaystyle\lim_{x\to 2^+}\,\frac{x + 1}{x - 2}$
12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $3$ |
| 2 | $2$ |
| 3 | $\dfrac{3}{2}$ |
| 4 | $6$ |
| 5 | $-\dfrac{1}{4}$ |
| 6 | $3$ |
| 7 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 8 | $-\dfrac{1}{16}$ |
| 9 | $5$ |
| 10 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 11 | $+\infty$ |
| 12 | No existe (límite por la izquierda $-1$, por la derecha $1$) |

## Soluciones paso a paso

**1.** Los polinomios son continuos en todo punto, así que sustituye:

$$3(2)^2 - 5(2) + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$

**2.** El denominador no se anula en $x = 0$, así que sustituye:

$$\frac{e^0 + \cos 0}{0 + 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$$

**3.** De nuevo, nada falla en $x = 3$:

$$\frac{\sqrt{3 + 6}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{9}}{2} = \frac{3}{2}$$

**4.** La sustitución da $\frac{0}{0}$. Factoriza la diferencia de cuadrados y cancela:

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \;\to\; 3 + 3 = 6$$

**5.** La sustitución da $\frac{4 - 10 + 6}{4 - 4} = \frac{0}{0}$. Factoriza numerador y denominador:

$$\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x+3}{x-2} \;\to\; \frac{-2+3}{-2-2} = -\frac{1}{4}$$

**6.** Usa la diferencia de cubos, $x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$:

$$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2 + x + 1 \;\to\; 1 + 1 + 1 = 3$$

**7.** La sustitución da $\frac{0}{0}$. Multiplica numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x+9} + 3$:

$$\frac{(x + 9) - 9}{x\left(\sqrt{x+9} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+9} + 3} \;\to\; \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$$

**8.** Combina las fracciones del numerador: $\frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4 - x}{4x}$. Como $4 - x = -(x - 4)$:

$$\frac{-(x-4)}{4x(x-4)} = -\frac{1}{4x} \;\to\; -\frac{1}{16}$$

**9.** Usa $\displaystyle\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ con $\theta = 5x$. Multiplica y divide entre $5$:

$$\frac{\sin(5x)}{x} = 5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x} \;\to\; 5\cdot 1 = 5$$

**10.** Multiplica por $\frac{1 + \cos x}{1 + \cos x}$ y usa $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{x^2(1 + \cos x)} = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\cdot\frac{1}{1 + \cos x} \;\to\; 1\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

**11.** La sustitución da $\frac{3}{0}$, así que el límite es infinito. Para $x$ un poco mayor que $2$, el numerador está cerca de $3$ y el denominador es un número positivo pequeño, así que la fracción es grande y positiva: el límite es $+\infty$. Hay una asíntota vertical en $x = 2$.

**12.** Para $x > 0$, $|x| = x$, así que la fracción vale $1$. Para $x < 0$, $|x| = -x$, así que la fracción vale $-1$. Los límites laterales son $1$ y $-1$. No coinciden, así que el límite bilateral no existe.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Quedarse en 0/0.** En el ejercicio 4, $\frac{0}{0}$ no es una respuesta. Te indica que primero debes factorizar.
- **Cancelar términos en lugar de factores.** En el ejercicio 5 puedes cancelar $(x+2)$ porque multiplica a todo el numerador y a todo el denominador. Nunca puedes cancelar el $x^2$ de $x^2 + 5x + 6$ y $x^2 - 4$.
- **Escribir $\frac{\sin 5x}{x} = \sin 5$.** No puedes cancelar la $x$ dentro de un seno. El ejercicio 9 necesita el límite notable $\frac{\sin\theta}{\theta}\to 1$.
- **Ignorar el lado.** En el ejercicio 11 el lado importa. Por la izquierda, la misma fracción tiende a $-\infty$, así que solo el límite por la derecha es $+\infty$.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la lección de [sustitución directa](/learn/calculus-1/limits/direct-substitution), después la de [factorizar formas 0/0](/learn/calculus-1/limits/factoring-zero-over-zero) y la del [teorema del sándwich](/learn/calculus-1/limits/squeeze-theorem). Cuando estés listo para límites cuando $x\to\infty$, pasa a los [ejercicios de límites al infinito](/practice-problems/limits-at-infinity).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es el primer paso para calcular un límite?

Sustituye el valor en la función. Si el resultado es un número real, ese es el límite. Solo cuando obtienes una forma como $\frac{0}{0}$ o un número distinto de cero entre cero necesitas hacer más trabajo.

### ¿Qué significa 0/0 al calcular un límite?

Es una indeterminación. No significa que el límite sea 0 ni que no esté definido. Significa que hay que simplificar la expresión, normalmente factorizando y cancelando un factor común, antes de volver a sustituir.

### ¿Cuándo no existe un límite?

Un límite no existe cuando los límites por la izquierda y por la derecha son distintos, como con $\frac{|x|}{x}$ en $0$, cuando la función crece sin cota, o cuando oscila indefinidamente, como $\sin\frac{1}{x}$ cerca de $0$.

### ¿Cuándo debo usar el conjugado para calcular un límite?

Úsalo cuando aparece una raíz cuadrada en una suma o una resta y la sustitución da $\frac{0}{0}$, como en $\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$. Multiplicar por el conjugado elimina la raíz del numerador para que se pueda cancelar un factor $x$.