# Ejercicios de continuidad de funciones resueltos con respuestas > 12 ejercicios de continuidad con respuestas y soluciones completas: funciones por partes, hallar k, tipos de discontinuidad y Teorema del Valor Intermedio. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-continuidad Actualizado: 2026-11-06 $$ \lim_{x\to a} f(x) = f(a) $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 1 - **Necesitas:** Límites laterales y [cálculo de límites](/practice-problems/evaluating-limits) - **Idea principal:** f es continua en a cuando f(a) existe, el límite existe y ambos son iguales - **Practica con números nuevos:** [Lección de continuidad](/learn/calculus-1/limits/continuity) ## Ideas clave - Comprueba tres cosas en $x = a$: $f(a)$ está definida, $\lim_{x\to a} f(x)$ existe y ambos son iguales. - En una función definida por partes, los únicos puntos que hay que revisar son los puntos de corte. Compara el límite por la izquierda, el límite por la derecha y el valor en ese punto. - El Teorema del Valor Intermedio necesita continuidad en un intervalo cerrado. Sin ella, un cambio de signo no garantiza un cero. Estos **ejercicios de continuidad** cubren la definición en tres partes, funciones definidas por partes, hallar una constante que haga continua una función, clasificar discontinuidades, dominios de continuidad y el Teorema del Valor Intermedio. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas. Una función $f$ es continua en $x = a$ cuando se cumplen las tres condiciones: $$f(a) \text{ está definida}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) \text{ existe}, \qquad \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$ Para profundizar en la idea, lee la [guía de continuidad](/blog/continuity). ## Ejercicios **¿Es continua?** 1. ¿Es $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ continua en $x = 1$? Si no lo es, ¿cómo podrías arreglarla? 2. ¿Es $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases}$ continua en $x = 2$? 3. ¿Es $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases}$ continua en $x = 1$? 4. ¿Es $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}$ continua en $x = 0$? **Hazla continua** 5. Halla $k$ para que $f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases}$ sea continua en todo punto. 6. Halla $a$ y $b$ para que $f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases}$ sea continua en todo punto. **Tipos de discontinuidad y dominios** 7. Halla y clasifica las discontinuidades de $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}$. 8. ¿Dónde es continua $f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6}$? 9. ¿Dónde es continua $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$? **Teorema del Valor Intermedio** 10. Demuestra que $x^3 + x - 1 = 0$ tiene una solución entre $0$ y $1$. 11. Demuestra que $\cos x = x$ tiene una solución en $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$. 12. $f(x) = \frac{1}{x}$ cumple $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$. ¿Dice el TVI que $f$ tiene un cero en $[-1, 1]$? ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | No, $f(1)$ no está definida. Evitable: define $f(1) = 2$ | | 2 | Sí, ambos lados dan $5$ y $f(2) = 5$ | | 3 | No, discontinuidad de salto (izquierda $3$, derecha $5$) | | 4 | Sí | | 5 | $k = \dfrac{1}{3}$ | | 6 | $a = 1$, $b = 3$ | | 7 | Evitable en $x = 2$, infinita en $x = 3$ | | 8 | $(4, 6)\cup(6, \infty)$ | | 9 | $[-3, 3]$ | | 10 | $f(0) = -1 < 0$ y $f(1) = 1 > 0$, así que existe una raíz por el TVI | | 11 | $g(x) = \cos x - x$ cambia de signo en el intervalo, así que existe una raíz | | 12 | No. $f$ no es continua en $[-1, 1]$ y no tiene ningún cero | ## Soluciones paso a paso **1.** En $x = 1$ el denominador es $0$, así que $f(1)$ no está definida y $f$ no es continua ahí. El límite sí existe: $$\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x\to 1}(x + 1) = 2$$ Es una discontinuidad evitable, un hueco en $(1, 2)$. Definir $f(1) = 2$ rellena el hueco y hace que $f$ sea continua. **2.** Comprueba las tres condiciones: - Límite por la izquierda: $2^2 + 1 = 5$. - Límite por la derecha: $3(2) - 1 = 5$. - Valor: $f(2) = 3(2) - 1 = 5$. Los tres coinciden, así que $f$ es continua en $x = 2$. **3.** El límite por la izquierda es $2(1) + 1 = 3$ y el límite por la derecha es $1^2 + 4 = 5$. Los límites laterales son distintos, así que el límite no existe. Es una discontinuidad de salto. **4.** El valor es $f(0) = 1$, y el límite notable da $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$. Coinciden, así que $f$ es continua en $0$. **5.** Cada trozo es un polinomio, así que solo hay que revisar $x = 2$. Iguala el límite por la izquierda con el límite por la derecha: $$2k + 3 = 4 - k \quad\Rightarrow\quad 3k = 1 \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{3}$$ **6.** Hay dos puntos de corte, así que obtienes dos ecuaciones. En $x = 2$: el trozo central da $4 + 2b$ y el trozo de la derecha da $10$, así que $b = 3$. En $x = 1$: el trozo de la izquierda da $3 + a$ y el trozo central da $1 + b = 4$, así que $a = 1$. **7.** Factoriza el denominador: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$, así que $f$ no está definida en $x = 2$ ni en $x = 3$. $$f(x) = \frac{x - 2}{(x - 2)(x - 3)} = \frac{1}{x - 3} \quad (x \ne 2)$$ En $x = 2$ el límite es $\frac{1}{2 - 3} = -1$, así que es una discontinuidad evitable. En $x = 3$ la forma simplificada sigue teniendo denominador cero, así que $f\to\pm\infty$: una discontinuidad infinita con asíntota vertical. **8.** El logaritmo necesita $x - 4 > 0$, es decir, $x > 4$. El denominador necesita $x \ne 6$. Combinando ambas condiciones, $f$ es continua en $(4, 6)\cup(6, \infty)$. **9.** La raíz necesita $9 - x^2 \ge 0$, es decir, $-3 \le x \le 3$. La función es continua en el intervalo cerrado $[-3, 3]$, con continuidad lateral en los extremos. **10.** Sea $f(x) = x^3 + x - 1$. Es un polinomio, así que es continua en $[0, 1]$. Como $f(0) = -1$ y $f(1) = 1$, el valor $0$ está entre ambos. Por el [Teorema del Valor Intermedio](/theorems/intermediate-value-theorem) existe un $c$ en $(0, 1)$ con $f(c) = 0$. **11.** Reescribe como $g(x) = \cos x - x = 0$. La función $g$ es continua en todo punto. Comprueba los extremos: $$g(0) = 1 > 0, \qquad g\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 - \tfrac{\pi}{2} < 0$$ El signo cambia, así que por el TVI existe un $c$ en $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ con $\cos c = c$. **12.** No. El TVI necesita que $f$ sea continua en todo el intervalo cerrado, y $\frac{1}{x}$ no está definida en $0$. El teorema no dice nada aquí, y de hecho $\frac{1}{x}$ nunca vale $0$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Comprobar solo el límite.** En el ejercicio 1 el límite existe, pero la función sigue siendo discontinua porque $f(1)$ no existe. - **Usar el trozo equivocado en el punto de corte.** En el ejercicio 2, $f(2)$ sale del trozo con $x \ge 2$. Lee con atención los signos de desigualdad. - **Revisar solo un punto de corte.** El ejercicio 6 tiene dos puntos de corte, y cada uno da su propia ecuación. - **Aplicar el TVI sin continuidad.** El ejercicio 12 muestra que un cambio de signo por sí solo no demuestra nada. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de continuidad](/learn/calculus-1/limits/continuity) y la [lección del Teorema del Valor Intermedio](/learn/calculus-1/limits/intermediate-value-theorem). La continuidad es también la primera hipótesis del [Teorema del Valor Medio](/practice-problems/mean-value-theorem), que puedes practicar a continuación. ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se comprueba si una función es continua en un punto? Usa la prueba de tres pasos. Asegúrate de que $f(a)$ está definida, halla los límites por la izquierda y por la derecha y confirma que coinciden, y luego comprueba que ese límite común es igual a $f(a)$. Si falla algún paso, $f$ es discontinua en $a$. ### ¿Cómo se halla k para que una función por partes sea continua? Iguala el límite por la izquierda con el límite por la derecha en el punto de corte y despeja $k$. En el ejercicio 5, $2k + 3 = 4 - k$ da $k = \frac{1}{3}$. ### ¿Qué tipos de discontinuidad hay? Una discontinuidad evitable (un hueco) se da cuando el límite existe pero no es igual a $f(a)$ o $f(a)$ no existe. Una discontinuidad de salto se da cuando los límites laterales son distintos. Una discontinuidad infinita está en una asíntota vertical.