# Ejercicios de criterios de convergencia de series con respuestas

> 12 ejercicios de convergencia de series con respuestas: término n-ésimo, series p, geométricas, comparación, integral, cociente, raíz y series alternadas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-criterios-de-convergencia
Actualizado: 2026-11-06

$$ L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 10
- **Necesitas:** Límites al infinito y la [fórmula de la serie geométrica](/rules/geometric-series-formula)
- **Idea principal:** Relaciona la forma de los términos con el criterio que trata esa forma
- **Practica con números nuevos:** [Lección para elegir un criterio](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test)

## Ideas clave

- Prueba siempre primero el [criterio del término n-ésimo](/rules/nth-term-test): si los términos no tienden a $0$, la serie diverge.
- Usa las series $p$ y las series geométricas como referencia, y compara las demás series con ellas.
- Los factoriales y las potencias $n$-ésimas apuntan al criterio del cociente o de la raíz. Los signos alternados apuntan al criterio de series alternadas.

Estos **ejercicios de criterios de convergencia de series** te dan una mezcla de series y te piden decidir si cada una converge o diverge, y por qué. Elegir el criterio adecuado es la verdadera destreza, así que intenta nombrar el criterio antes de leer la solución. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

Una guía rápida de los criterios:

| Forma de los términos | Criterio que conviene probar |
| --- | --- |
| Los términos no tienden a $0$ | [Criterio del término n-ésimo](/rules/nth-term-test): diverge |
| $ar^n$ | Geométrica: converge si $\lvert r\rvert < 1$ |
| $\frac{1}{n^p}$ | Serie $p$: converge si $p > 1$ |
| Expresiones racionales o con raíces | Comparación directa o en el límite |
| Factoriales o $c^n$ | [Criterio del cociente](/rules/ratio-test) |
| $(\dots)^n$ | Criterio de la raíz |
| $(-1)^n b_n$ | [Criterio de series alternadas](/rules/alternating-series-test) |

## Ejercicios

Decide si cada serie converge o diverge.

**Series de referencia**

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ (halla también la suma)
4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$

**Criterios de comparación y de la integral**

5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}$
6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}$
7. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$

**Criterios del cociente y de la raíz**

8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$
9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$
10. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$

**Series alternadas**

11. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
12. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta | Criterio |
| --- | --- | --- |
| 1 | Converge | Serie $p$, $p = 3$ |
| 2 | Diverge | Término n-ésimo, términos $\to 1$ |
| 3 | Converge a $3$ | Geométrica, $r = \frac{2}{3}$ |
| 4 | Diverge | Serie $p$, $p = \frac{1}{2}$ |
| 5 | Converge | Comparación con $\frac{1}{n^2}$ |
| 6 | Diverge | Comparación en el límite con $\frac{1}{n}$ |
| 7 | Diverge | Criterio de la integral |
| 8 | Converge | Criterio del cociente, $L = \frac{1}{2}$ |
| 9 | Diverge | Criterio del cociente, $L = \infty$ |
| 10 | Converge | Criterio de la raíz, $L = \frac{1}{2}$ |
| 11 | Converge condicionalmente | Criterio de series alternadas |
| 12 | Converge absolutamente | $\sum\frac{1}{n^2}$ converge |

## Soluciones paso a paso

**1.** Es una serie $p$ con $p = 3 > 1$, así que converge.

**2.** Los términos tienden a $1$, no a $0$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n + 1} = 1 \neq 0$$

Por el criterio del término n-ésimo, la serie diverge.

**3.** Geométrica con primer término $1$ y razón $\frac{2}{3}$. Como $|r| < 1$:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3$$

**4.** $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}}$ es una serie $p$ con $p = \frac{1}{2} \le 1$, así que diverge.

**5.** Para todo $n$, $n^2 + 1 > n^2$, así que $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$. La serie mayor $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, así que la menor también.

**6.** Compara con $\frac{1}{n}$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n - 1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n - 1} = \frac{1}{2}$$

El límite es positivo y finito, y $\sum\frac{1}{n}$ diverge, así que esta serie también diverge.

**7.** La función $\frac{1}{x\ln x}$ es positiva y decreciente para $x \ge 2$. Con $u = \ln x$:

$$\int_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^{b} = \infty$$

La integral diverge, así que la serie diverge.

**8.** Criterio del cociente:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n + 1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$$

Converge. De hecho, su suma es $2$.

**9.** Criterio del cociente:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n + 1}{10} \to \infty$$

Diverge. Los factoriales crecen más rápido que cualquier exponencial.

**10.** Criterio de la raíz:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$$

Converge.

**11.** Los términos $\frac{1}{n}$ son positivos, decrecientes y tienden a $0$, así que el criterio de series alternadas dice que converge. Pero $\sum\frac{1}{n}$ diverge, así que la convergencia es condicional. La suma es $\ln 2$.

**12.** Los valores absolutos forman $\sum\frac{1}{n^2}$, una serie $p$ convergente. Así que la serie converge absolutamente.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Usar el criterio del término n-ésimo para demostrar convergencia.** Que los términos tiendan a $0$ no demuestra la convergencia. El ejercicio 7 tiene términos que tienden a $0$ y aun así diverge.
- **Comparar en la dirección equivocada.** Ser menor que una serie divergente, o mayor que una convergente, no demuestra nada.
- **Usar el criterio del cociente con series $p$.** Para $\frac{1}{n^p}$ el límite del cociente siempre es $1$, lo que no da respuesta.
- **Olvidar comprobar la convergencia absoluta.** En las series alternadas, la respuesta completa indica si la convergencia es absoluta o condicional.

## Sigue practicando

Para practicar con series sin límite y corrección al instante, prueba la [lección para elegir un criterio](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test), la [lección de los criterios del cociente y de la raíz](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) y el [bloque de práctica de series](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-practice). Para entender el razonamiento detrás de cada criterio, lee la [guía de criterios de convergencia](/blog/convergence-tests). Después usa estos criterios para hallar intervalos en los [ejercicios de series de potencias](/practice-problems/power-series).

## Preguntas frecuentes

### ¿Qué criterio de convergencia debo usar primero?

Prueba primero el criterio del término n-ésimo, porque puede resolver el ejercicio en una línea. Después mira la forma: $r^n$ es geométrica, $\frac{1}{n^p}$ es una serie $p$, los factoriales sugieren el criterio del cociente, $(\dots)^n$ sugiere el criterio de la raíz y las funciones racionales sugieren una comparación.

### Si los términos tienden a cero, ¿la serie converge?

No necesariamente. La serie armónica $\sum\frac{1}{n}$ tiene términos que tienden a $0$ pero diverge. Que los términos tiendan a $0$ es necesario para la convergencia, pero no es suficiente.

### ¿Qué diferencia hay entre convergencia absoluta y condicional?

Una serie converge absolutamente si $\sum|a_n|$ converge. Converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge pero $\sum|a_n|$ no. La serie armónica alternada del ejercicio 11 es el ejemplo clásico.