# Ejercicios de derivación implícita resueltos con respuestas > 12 ejercicios de derivación implícita con respuestas y soluciones completas: circunferencias, productos, trigonometría, exponenciales, rectas tangentes e y''. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivacion-implicita Actualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 3 - **Necesitas:** La [regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule) y la [regla del producto](/rules/product-rule) - **Idea principal:** Deriva ambos lados respecto a x, añade dy/dx a cada término con y, y despeja dy/dx - **Practica con números nuevos:** [Lección de derivación implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation) ## Ideas clave - Cada vez que derivas un término que contiene $y$, multiplica por $\frac{dy}{dx}$. Es la regla de la cadena en acción. - Un término como $xy$ necesita la regla del producto: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$. - Después de derivar, pasa todos los términos con $\frac{dy}{dx}$ a un lado, saca factor común y divide. Estos **ejercicios de derivación implícita** empiezan con circunferencias y productos sencillos, después añaden funciones trigonométricas y exponenciales, y terminan con rectas tangentes, tangentes horizontales y una segunda derivada. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas. La idea clave: como $y$ depende de $x$, la regla de la cadena da $$\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\,\frac{dy}{dx}$$ Así, $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$ y $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\frac{dy}{dx}$. A continuación, $y'$ significa $\frac{dy}{dx}$. Para repasar, consulta la [regla de derivación implícita](/rules/implicit-differentiation) o la [guía de derivación implícita](/blog/implicit-differentiation). ## Ejercicios **Halla dy/dx** 1. $x^2 + y^2 = 25$ 2. $xy = 8$ 3. $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ 4. $x^2 + xy + y^2 = 7$ 5. $x^3 + y^3 = 6xy$ **Trigonométricas y exponenciales** 6. $\tan y = x$ 7. $e^y = x^2 + y$ 8. $\cos(xy) = y$ **Rectas tangentes y segundas derivadas** 9. Halla la recta tangente a $x^2 + y^2 = 25$ en $(3, -4)$. 10. Halla la recta tangente a $x^2 + xy + y^2 = 7$ en $(1, 2)$. 11. Halla los puntos donde $x^2 + xy + y^2 = 7$ tiene recta tangente horizontal. 12. Halla $y''$ para $x^2 + y^2 = 25$, solo en función de $y$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $-\dfrac{x}{y}$ | | 2 | $-\dfrac{y}{x}$ | | 3 | $-\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$ | | 4 | $-\dfrac{2x + y}{x + 2y}$ | | 5 | $\dfrac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$ | | 6 | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ | | 7 | $\dfrac{2x}{e^y - 1}$ | | 8 | $-\dfrac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$ | | 9 | $y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{25}{4}$ | | 10 | $y = -\dfrac{4}{5}x + \dfrac{14}{5}$ | | 11 | $\left(\dfrac{\sqrt{21}}{3}, -\dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ y $\left(-\dfrac{\sqrt{21}}{3}, \dfrac{2\sqrt{21}}{3}\right)$ | | 12 | $-\dfrac{25}{y^3}$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Deriva ambos lados. El lado derecho es una constante: $$2x + 2y\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{x}{y}$$ **2.** El lado izquierdo es un producto, así que usa la regla del producto: $$1\cdot y + x\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y}{x}$$ **3.** Escribe las raíces como potencias de $\frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}}\,y' = 0 \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{2\sqrt{y}}{2\sqrt{x}} = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$$ **4.** El término central necesita la regla del producto: $$2x + (y + x\,y') + 2y\,y' = 0$$ Agrupa los términos con $y'$: $y'(x + 2y) = -(2x + y)$, así que $$y' = -\frac{2x + y}{x + 2y}$$ **5.** El lado derecho $6xy$ necesita la regla del producto: $$3x^2 + 3y^2\,y' = 6y + 6x\,y'$$ Pasa los términos con $y'$ a la izquierda y el resto a la derecha: $y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2$. Divide entre $3$: $$y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$ **6.** Deriva ambos lados: $\sec^2 y\cdot y' = 1$, así que $y' = \frac{1}{\sec^2 y}$. Usa $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$: $$y' = \frac{1}{1 + x^2}$$ Así es exactamente como se demuestra la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x), ya que $\tan y = x$ significa $y = \arctan x$. **7.** Deriva: $e^y\,y' = 2x + y'$. Agrupa $y'$: $$y'(e^y - 1) = 2x \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{2x}{e^y - 1}$$ **8.** El lado izquierdo es una regla de la cadena con un producto dentro: $$-\sin(xy)\cdot(y + x\,y') = y'$$ Desarrolla: $-y\sin(xy) - x\sin(xy)\,y' = y'$. Agrupa $y'$ a la derecha: $$-y\sin(xy) = y'\big(1 + x\sin(xy)\big) \quad\Rightarrow\quad y' = -\frac{y\sin(xy)}{1 + x\sin(xy)}$$ **9.** Del ejercicio 1, $y' = -\frac{x}{y}$. En $(3, -4)$ la pendiente es $-\frac{3}{-4} = \frac{3}{4}$: $$y + 4 = \frac{3}{4}(x - 3) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x - \frac{25}{4}$$ **10.** Primero comprueba el punto: $1 + 2 + 4 = 7$. Del ejercicio 4, la pendiente en $(1, 2)$ es $$y' = -\frac{2(1) + 2}{1 + 2(2)} = -\frac{4}{5}$$ $$y - 2 = -\frac{4}{5}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{4}{5}x + \frac{14}{5}$$ **11.** Una tangente horizontal necesita $y' = 0$, así que el numerador de la respuesta del ejercicio 4 debe ser cero: $2x + y = 0$, es decir, $y = -2x$. Sustituye en la curva: $$x^2 + x(-2x) + (-2x)^2 = 3x^2 = 7 \quad\Rightarrow\quad x = \pm\sqrt{\tfrac{7}{3}} = \pm\frac{\sqrt{21}}{3}$$ Después $y = -2x$ da los dos puntos de la tabla de respuestas. En ambos puntos el denominador $x + 2y = -3x$ no es cero, así que la pendiente es realmente $0$. **12.** Parte de $y' = -\frac{x}{y}$ y usa la regla del cociente: $$y'' = -\frac{1\cdot y - x\,y'}{y^2}$$ Sustituye $y' = -\frac{x}{y}$: $$y'' = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$$ Sobre la curva, $x^2 + y^2 = 25$, así que $y'' = -\frac{25}{y^3}$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Olvidar $y'$ en los términos con $y$.** $\frac{d}{dx}y^2$ es $2y\,y'$, no $2y$. Todo término con $y$ debe llevar ese factor. - **Tratar $xy$ como una sola variable.** En el ejercicio 2, $\frac{d}{dx}(xy)$ necesita la regla del producto, que da dos términos. - **Derivar la constante como si fuera algo.** En el ejercicio 1, la derivada de $25$ es $0$. - **No sustituir $y'$ en una segunda derivada.** En el ejercicio 12, reemplaza $y'$ por $-\frac{x}{y}$ antes de simplificar. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con curvas nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de derivación implícita](/learn/calculus-1/derivative-rules/implicit-differentiation). La derivación implícita respecto al tiempo es la herramienta principal en los [ejercicios de razones de cambio relacionadas](/practice-problems/related-rates), y es la forma de demostrar las [derivadas de funciones trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuándo se usa la derivación implícita? Úsala cuando $y$ está mezclada con $x$ y no puedes despejar $y$ fácilmente, como en $x^3 + y^3 = 6xy$. También funciona cuando sí podrías despejar $y$, como en una circunferencia, y a menudo es más rápida. ### ¿Por qué se multiplica por dy/dx en la derivación implícita? Porque $y$ es una función de $x$. Derivar $y^2$ respecto a $x$ es un ejercicio de regla de la cadena: la función de fuera es un cuadrado y la de dentro es $y$, así que el resultado es $2y\cdot\frac{dy}{dx}$. ### ¿Cómo se halla una recta tangente con derivación implícita? Halla $\frac{dy}{dx}$ implícitamente, sustituye las dos coordenadas del punto para obtener la pendiente y usa la ecuación punto-pendiente. Los ejercicios 9 y 10 lo muestran.