# Ejercicios resueltos de la derivada por definición (límite) > 12 ejercicios de la derivada por definición con respuestas y soluciones paso a paso, desde funciones lineales hasta 1/x, √x y rectas tangentes. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivada-por-definicion Actualizado: 2026-11-06 $$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 2 - **Necesitas:** Desarrollar binomios, operar con fracciones y [calcular límites](/practice-problems/evaluating-limits) - **Idea principal:** Plantea el cociente incremental, simplifica hasta cancelar la h y luego haz tender h a 0 - **Practica con números nuevos:** [Lección de la derivada por definición](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) ## Ideas clave - Escribe $f(x+h)$ con cuidado, cambiando cada $x$ por $(x+h)$, también dentro de raíces y fracciones. - Después de restar $f(x)$, todos los términos que quedan en el numerador deben contener una $h$. Si alguno no la tiene, hay un error de álgebra. - Usa denominador común con las fracciones y el conjugado con las raíces cuadradas. Ambos sirven para cancelar la $h$ del denominador. Estos **ejercicios de la derivada por definición** empiezan con una recta y una parábola, siguen con cubos, fracciones y raíces cuadradas, y terminan con rectas tangentes y límites que puedes reconocer como derivadas. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas aparecen justo después de la lista. La definición que usarás siempre: $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$ Si quieres repasar de dónde sale, lee la [guía de la derivada por definición](/blog/limit-definition-of-the-derivative). ## Ejercicios **Polinomios** 1. $f(x) = 5x - 3$ 2. $f(x) = x^2$ 3. $f(x) = 3x^2 - 4x + 1$ 4. $f(x) = x^3$ **Fracciones y raíces** 5. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ 6. $f(x) = \sqrt{x}$ 7. $f(x) = \dfrac{1}{x + 2}$ 8. $f(x) = \sqrt{2x + 1}$ **En un punto y rectas tangentes** 9. Usa la definición para hallar $f'(3)$ si $f(x) = x^2 + 2x$. 10. Halla la recta tangente a $f(x) = x^2 - 3x$ en $x = 1$, usando la definición para la pendiente. **Reconoce la derivada** 11. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ 12. $\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{\pi}{3} + h\right) - \sin\frac{\pi}{3}}{h}$ ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $5$ | | 2 | $2x$ | | 3 | $6x - 4$ | | 4 | $3x^2$ | | 5 | $-\dfrac{1}{x^2}$ | | 6 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{1}{(x+2)^2}$ | | 8 | $\dfrac{1}{\sqrt{2x + 1}}$ | | 9 | $8$ | | 10 | $y = -x - 1$ | | 11 | $32$ | | 12 | $\dfrac{1}{2}$ | ## Soluciones paso a paso **1.** $f(x+h) = 5(x+h) - 3 = 5x + 5h - 3$. Resta $f(x)$: $$\frac{(5x + 5h - 3) - (5x - 3)}{h} = \frac{5h}{h} = 5$$ Una recta tiene la misma pendiente en todas partes, así que $f'(x) = 5$. **2.** Desarrolla $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$: $$\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h \;\to\; 2x$$ **3.** $f(x+h) = 3(x^2 + 2xh + h^2) - 4x - 4h + 1$. Después de restar $f(x)$, solo quedan los términos con $h$: $$\frac{6xh + 3h^2 - 4h}{h} = 6x + 3h - 4 \;\to\; 6x - 4$$ **4.** Desarrolla $(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$: $$\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 \;\to\; 3x^2$$ **5.** Combina las fracciones con denominador común $x(x+h)$: $$\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \frac{-h}{h\,x(x+h)} = -\frac{1}{x(x+h)} \;\to\; -\frac{1}{x^2}$$ **6.** Multiplica numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x+h} + \sqrt{x}$: $$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x + h) - x}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)} = \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$$ Cuando $h\to 0$ esto se convierte en $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. **7.** La misma idea que en el ejercicio 5, con denominador común $(x + h + 2)(x + 2)$: $$\frac{(x + 2) - (x + h + 2)}{h\,(x + h + 2)(x + 2)} = -\frac{1}{(x + h + 2)(x + 2)} \;\to\; -\frac{1}{(x + 2)^2}$$ **8.** Multiplica por el conjugado. El numerador queda $(2x + 2h + 1) - (2x + 1) = 2h$: $$\frac{2h}{h\left(\sqrt{2x + 2h + 1} + \sqrt{2x + 1}\right)} \;\to\; \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$ **9.** Usa $f'(3) = \lim_{h\to 0}\frac{f(3+h) - f(3)}{h}$. Aquí $f(3) = 15$ y $$f(3 + h) = 9 + 6h + h^2 + 6 + 2h = 15 + 8h + h^2$$ $$\frac{8h + h^2}{h} = 8 + h \;\to\; 8$$ **10.** Primero la pendiente en $x = 1$. $f(1) = -2$ y $f(1 + h) = (1 + h)^2 - 3(1 + h) = -2 - h + h^2$: $$f'(1) = \lim_{h\to 0}\frac{-h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0}(-1 + h) = -1$$ La recta tangente pasa por $(1, -2)$ con pendiente $-1$: $$y + 2 = -(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = -x - 1$$ **11.** Coincide con $\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ para $f(x) = x^4$ y $a = 2$, ya que $2^4 = 16$. Así que el límite es $f'(2)$, y con la [regla de la potencia](/rules/power-rule), $f'(x) = 4x^3$ da $f'(2) = 32$. **12.** Coincide con $f(x) = \sin x$ en $a = \frac{\pi}{3}$. La derivada de $\sin x$ es $\cos x$, así que el límite es $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Escribir $f(x+h)$ como $f(x) + h$.** En el ejercicio 2, $(x+h)^2$ es $x^2 + 2xh + h^2$, no $x^2 + h$. - **Perder un signo al restar.** Pon $f(x)$ entre paréntesis antes de restar, sobre todo en el ejercicio 3, donde tiene tres términos. - **Hacer $h\to 0$ demasiado pronto.** Sustituir $h = 0$ antes de cancelar da $\frac{0}{0}$. Cancela primero la $h$. - **Desarrollar el conjugado en el denominador.** En los ejercicios 6 y 8, deja el denominador factorizado. Solo necesitas simplificar el numerador. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de la derivada por definición](/learn/calculus-1/the-derivative/limit-definition) y la [lección de rectas tangentes](/learn/calculus-1/the-derivative/tangent-lines). Cuando domines la definición, el atajo es la regla de la potencia: practícala con los [ejercicios de la regla de la potencia](/practice-problems/power-rule). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuál es la definición de derivada como límite? Es $f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, el límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el segundo punto se acerca al primero. Cuando el límite existe, es la pendiente de la recta tangente en $x$. ### ¿Por qué sale 0/0 en la definición de derivada? Porque el numerador $f(x+h) - f(x)$ y el denominador $h$ tienden a $0$. Siempre pasa con una función continua, así que debes simplificar y cancelar el factor $h$ antes de hacer $h\to 0$. ### ¿Cómo se reconoce una derivada escrita como límite? Compárala con $\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. En el ejercicio 11, $\frac{(2+h)^4 - 16}{h}$ sigue ese patrón con $f(x) = x^4$ y $a = 2$, así que el límite es $f'(2) = 32$.