# Ejercicios de derivadas exponenciales y logarítmicas resueltos

> 12 ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas, con respuestas y soluciones completas: e^x, a^x, ln x, propiedades de logaritmos y x^x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivadas-exponenciales-y-logaritmicas
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidades 2 y 3
- **Necesitas:** Las propiedades de los logaritmos y la [regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule)
- **Idea principal:** La derivada de e^u es e^u por u', y la derivada de ln u es u' entre u
- **Practica con números nuevos:** [Lección de derivadas exponenciales y logarítmicas](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives)

## Ideas clave

- $e^x$ es su propia derivada, y cualquier otra base gana un factor igual a su logaritmo natural: $(a^x)' = a^x\ln a$.
- Usa las propiedades de los logaritmos para descomponer un logaritmo antes de derivar. Convierte cocientes y raíces en sumas sencillas.
- Cuando la variable está a la vez en la base y en el exponente, como en $x^x$, toma primero $\ln$ en ambos lados.

Estos **ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas** empiezan con las reglas básicas y después usan la regla de la cadena, las propiedades de los logaritmos y la derivación logarítmica. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las reglas que necesitas:

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x\ln a$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ |

Con una función interior $u$: $(e^u)' = e^u u'$ y $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$. Consulta la [derivada de e^x](/derivatives/e-to-the-x), la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) y la [derivada de 2^x](/derivatives/2-to-the-x) para ver las demostraciones.

## Ejercicios

**Reglas básicas**

1. $y = 5e^x - \ln x$
2. $y = 2^x$
3. $y = \log_{10} x$

**Regla de la cadena**

4. $y = e^{3x}$
5. $y = \ln(x^2 + 1)$
6. $y = 5^{x^2}$

**Usa primero las propiedades de los logaritmos**

7. $y = \ln(5x)$
8. $y = \ln\sqrt{x^2 + 4}$
9. $y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)$

**Con otras reglas**

10. $y = x^2\ln x$
11. $y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$
12. $y = x^x$ para $x > 0$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $5e^x - \dfrac{1}{x}$ |
| 2 | $2^x\ln 2$ |
| 3 | $\dfrac{1}{x\ln 10}$ |
| 4 | $3e^{3x}$ |
| 5 | $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$ |
| 6 | $2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x}$ |
| 8 | $\dfrac{x}{x^2 + 4}$ |
| 9 | $-\dfrac{2}{x^2 - 1}$ |
| 10 | $2x\ln x + x$ |
| 11 | $\dfrac{e^x}{(1 + e^x)^2}$ |
| 12 | $x^x(\ln x + 1)$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Deriva cada término:

$$y' = 5e^x - \frac{1}{x}$$

**2.** Usa $(a^x)' = a^x\ln a$ con $a = 2$:

$$y' = 2^x\ln 2$$

**3.** Usa $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$ con $a = 10$, o escribe primero $\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}$:

$$y' = \frac{1}{x\ln 10}$$

**4.** La función interior es $3x$, con derivada $3$:

$$y' = e^{3x}\cdot 3 = 3e^{3x}$$

**5.** Usa $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ con $u = x^2 + 1$:

$$y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

**6.** Usa $(a^u)' = a^u\ln a\cdot u'$ con $a = 5$ y $u = x^2$:

$$y' = 5^{x^2}\ln 5\cdot 2x = 2x\ln 5\cdot 5^{x^2}$$

**7.** Descompón el logaritmo: $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$. El primer término es una constante:

$$y' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

La regla de la cadena da lo mismo: $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.

**8.** Una raíz cuadrada es una potencia de $\frac{1}{2}$, y los logaritmos bajan las potencias delante:

$$y = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 4) \quad\Rightarrow\quad y' = \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4}$$

**9.** Descompón el cociente: $y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1)$. Entonces

$$y' = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{(x - 1) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)} = -\frac{2}{x^2 - 1}$$

Es mucho más corto que aplicar la regla del cociente dentro de la regla de la cadena.

**10.** Usa la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$y' = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x$$

**11.** Usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule). Tanto el numerador como el denominador tienen derivada $e^x$:

$$y' = \frac{e^x(1 + e^x) - e^x\cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x + e^{2x} - e^{2x}}{(1 + e^x)^2} = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$$

**12.** No sirven ni la regla de la potencia ni la regla exponencial, porque $x$ está en los dos sitios. Usa la [derivación logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation): toma $\ln$ en ambos lados.

$$\ln y = x\ln x$$

Deriva ambos lados, con la regla del producto a la derecha:

$$\frac{y'}{y} = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} = \ln x + 1 \quad\Rightarrow\quad y' = x^x(\ln x + 1)$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Usar la regla de la potencia con $e^x$ o $2^x$.** $(2^x)'$ no es $x\cdot 2^{x-1}$. La variable está en el exponente, así que necesitas $2^x\ln 2$.
- **Escribir $\ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}$.** Eso olvida la derivada interior $2x$ en el numerador.
- **Descomponer un logaritmo de forma incorrecta.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$. Las propiedades de los logaritmos separan productos y cocientes, no sumas.
- **Tratar $x^x$ como $x\cdot x^{x-1}$.** El ejercicio 12 necesita derivación logarítmica. Consulta la [derivada de x^x](/derivatives/x-to-the-x) para más detalles.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de derivadas exponenciales y logarítmicas](/learn/calculus-1/derivative-rules/exponential-and-log-derivatives) y después la [lección de la regla de la cadena con exponenciales](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-exponentials). Para más ejemplos resueltos, lee la [guía de derivadas exponenciales y logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuál es la derivada de e elevado a x?

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Si hay algo dentro, usa la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u}u'$, así que $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

### ¿Cuál es la derivada de ln x?

$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ para $x > 0$. Con una función interior, $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$. Observa que $\ln(5x)$ también tiene derivada $\frac{1}{x}$, porque $\ln(5x) = \ln 5 + \ln x$.

### ¿Cuál es la derivada de a elevado a x?

$\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a$ para cualquier base positiva $a$. Por ejemplo, $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Cuando $a = e$, $\ln e = 1$ y vuelves a obtener $e^x$.