# Ejercicios resueltos de derivadas parciales con soluciones

> 12 ejercicios de derivadas parciales con respuestas: parciales de primer y segundo orden, gradiente, derivada direccional, plano tangente y puntos críticos.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivadas-parciales
Actualizado: 2026-11-06

$$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \quad \nabla f = \langle f_x, f_y\rangle, \quad D_{\mathbf{u}}f = \nabla f\cdot\mathbf{u} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 3
- **Necesitas:** Todas las reglas de derivación en una variable, sobre todo la [regla de la cadena](/rules/chain-rule)
- **Idea principal:** Deriva respecto de una variable y trata todas las demás como constantes
- **Practica con números nuevos:** [Lección de derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives)

## Ideas clave

- Para $f_x$, trata $y$ como un número. Para $f_y$, trata $x$ como un número. Después aplica las reglas de siempre.
- Las derivadas cruzadas $f_{xy}$ y $f_{yx}$ son iguales para funciones regulares, por el [teorema de Clairaut (Schwarz)](/theorems/clairauts-theorem). Úsalo como comprobación.
- La derivada direccional es el producto escalar del gradiente por un vector unitario. Normaliza primero la dirección.

Estos **ejercicios de derivadas parciales** empiezan con parciales de primer orden y siguen con parciales de segundo orden, gradientes, derivadas direccionales, planos tangentes y puntos críticos. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

La idea detrás de todos los ejercicios:

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x}: \text{ deriva respecto de } x, \text{ trata } y \text{ como constante}$$

Para ver las ideas con dibujos, lee la [guía de derivadas parciales](/blog/partial-derivatives) y la [guía del gradiente](/blog/gradient-and-directional-derivatives).

## Ejercicios

**Parciales de primer orden**

1. $f(x, y) = x^3y^2 + 4xy$. Halla $f_x$ y $f_y$.
2. $f(x, y) = e^{xy}$. Halla $f_x$ y $f_y$.
3. $f(x, y) = \sin(x^2y)$. Halla $f_x$ y $f_y$.
4. $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$. Halla $f_x$.
5. $f(x, y) = \dfrac{x}{y}$. Halla $f_x$ y $f_y$.
6. $f(x, y, z) = xyz + z^2$. Halla $f_z$.

**Parciales de segundo orden y valores**

7. $f(x, y) = x^2y^3$. Halla $f_{xx}$, $f_{yy}$ y $f_{xy}$.
8. $f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2$. Halla $f_x(1, 2)$ y $f_y(1, 2)$.

**Gradientes y planos**

9. Halla $\nabla f(2, 1)$ para $f(x, y) = x^2y$.
10. Halla la derivada direccional de $f(x, y) = x^2y$ en $(2, 1)$ en la dirección de $\langle 3, 4\rangle$.
11. Halla el plano tangente a $z = x^2 + y^2$ en $(1, 2, 5)$.
12. Halla y clasifica el punto crítico de $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x + 6y$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $f_x = 3x^2y^2 + 4y$, $f_y = 2x^3y + 4x$ |
| 2 | $f_x = ye^{xy}$, $f_y = xe^{xy}$ |
| 3 | $f_x = 2xy\cos(x^2y)$, $f_y = x^2\cos(x^2y)$ |
| 4 | $f_x = \dfrac{2x}{x^2 + y^2}$ |
| 5 | $f_x = \dfrac{1}{y}$, $f_y = -\dfrac{x}{y^2}$ |
| 6 | $f_z = xy + 2z$ |
| 7 | $f_{xx} = 2y^3$, $f_{yy} = 6x^2y$, $f_{xy} = 6xy^2$ |
| 8 | $f_x(1, 2) = 8$, $f_y(1, 2) = -1$ |
| 9 | $\langle 4, 4\rangle$ |
| 10 | $\frac{28}{5}$ |
| 11 | $z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2)$, o $z = 2x + 4y - 5$ |
| 12 | $(2, -3)$, un mínimo local con valor $-13$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Para $f_x$, $y^2$ y $4y$ son constantes: $f_x = 3x^2y^2 + 4y$. Para $f_y$, $x^3$ y $4x$ son constantes: $f_y = 2x^3y + 4x$.

**2.** Regla de la cadena con función interior $xy$. Su derivada respecto de $x$ es $y$ y respecto de $y$ es $x$:

$$f_x = ye^{xy}, \qquad f_y = xe^{xy}$$

**3.** Regla de la cadena con función interior $x^2y$:

$$f_x = \cos(x^2y)\cdot 2xy, \qquad f_y = \cos(x^2y)\cdot x^2$$

**4.** La derivada de $\ln u$ es $\frac{u'}{u}$, y la derivada respecto de $x$ de $x^2 + y^2$ es $2x$:

$$f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$

**5.** Respecto de $x$, $\frac{x}{y}$ es $x$ por la constante $\frac{1}{y}$. Respecto de $y$, es $x\cdot y^{-1}$:

$$f_x = \frac{1}{y}, \qquad f_y = -xy^{-2} = -\frac{x}{y^2}$$

**6.** Trata $x$ e $y$ como constantes: $f_z = xy + 2z$.

**7.** Primero, $f_x = 2xy^3$ y $f_y = 3x^2y^2$. Después:

$$f_{xx} = 2y^3, \qquad f_{yy} = 6x^2y, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3) = 6xy^2$$

Comprobación: $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2) = 6xy^2$. Coinciden.

**8.** $f_x = 2x + 3y$, así que $f_x(1, 2) = 2 + 6 = 8$. $f_y = 3x - 2y$, así que $f_y(1, 2) = 3 - 4 = -1$.

**9.** $f_x = 2xy$ y $f_y = x^2$. En $(2, 1)$: $\nabla f = \langle 4, 4\rangle$.

**10.** El módulo de $\langle 3, 4\rangle$ es $5$, así que el vector unitario es $\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle$:

$$D_{\mathbf{u}}f = \langle 4, 4\rangle\cdot\left\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right\rangle = \frac{12}{5} + \frac{16}{5} = \frac{28}{5}$$

**11.** En $(1, 2)$, $f_x = 2x = 2$ y $f_y = 2y = 4$. El plano tangente es $z = f(a, b) + f_x(x - a) + f_y(y - b)$:

$$z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5$$

**12.** Iguala $f_x = 2x - 4 = 0$ y $f_y = 2y + 6 = 0$: $(2, -3)$. El criterio de la segunda derivada da $D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2 = 2\cdot 2 - 0 = 4 > 0$ con $f_{xx} > 0$, así que es un mínimo local. El valor es $4 + 9 - 8 - 18 = -13$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Derivar la variable que es constante.** En el ejercicio 1, $f_x$ de $4xy$ es $4y$, no $4y + 4x$.
- **Olvidar la regla de la cadena.** En el ejercicio 3, el factor $2xy$ viene de la función interior $x^2y$.
- **Usar una dirección que no es un vector unitario.** En el ejercicio 10, normaliza primero $\langle 3, 4\rangle$.
- **Confundir el orden en $f_{xy}$.** $f_{xy}$ significa derivar primero respecto de $x$ y luego respecto de $y$. Para funciones regulares ambos órdenes coinciden, lo que sirve de comprobación.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de derivadas parciales](/learn/calculus-3/partial-derivatives/partial-derivatives), la [lección de parciales de segundo orden](/learn/calculus-3/partial-derivatives/second-partial-derivatives), la [lección de planos tangentes](/learn/calculus-3/partial-derivatives/tangent-planes) y la [lección del gradiente](/learn/calculus-3/partial-derivatives/gradient-and-directional-derivatives). Para optimizar con una restricción, sigue con los [ejercicios de multiplicadores de Lagrange](/practice-problems/lagrange-multipliers).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula una derivada parcial?

Elige la variable respecto de la que derivas y trata todas las demás como constantes. Para $f = x^3y^2$, $f_x = 3x^2y^2$, porque $y^2$ es solo un factor constante.

### ¿Qué indica el gradiente?

El gradiente $\nabla f$ apunta en la dirección de máximo crecimiento, y su módulo es esa tasa máxima. También es perpendicular a las curvas de nivel.

### ¿Por qué el vector dirección tiene que ser unitario?

La derivada direccional mide el cambio por unidad de distancia. Un vector más largo multiplicaría la respuesta por su longitud. En el ejercicio 10, usar $\langle 3, 4\rangle$ en lugar de $\langle\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\rangle$ da una respuesta cinco veces mayor.