# Ejercicios de derivadas trigonométricas inversas resueltos

> 12 ejercicios de derivadas trigonométricas inversas con respuestas y soluciones: arcsen, arccos, arctan y arcsec con la regla de la cadena y del producto.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivadas-trigonometricas-inversas
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 3
- **Necesitas:** La [regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule) y las cuatro derivadas trigonométricas inversas
- **Idea principal:** Usa la fórmula con u en lugar de x y multiplica por u'
- **Practica con números nuevos:** [Lección de derivadas trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives)

## Ideas clave

- Las derivadas de arcoseno y arcocoseno solo se diferencian en el signo. Lo mismo ocurre con arcotangente y arcocotangente.
- Con una función interior, sustituye $x$ por $u$ en toda la fórmula, también bajo la raíz, y multiplica por $u'$.
- Si una derivada sale $0$, la función es constante. El ejercicio 11 muestra que $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ para $x > 0$.

Estos **ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas** empiezan con las fórmulas básicas, después usan la regla de la cadena, la regla del producto y un logaritmo, y terminan con dos ejercicios que se simplifican de forma sorprendente y una recta tangente. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las fórmulas que necesitas:

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1 + x^2}$ |
| $\operatorname{arcsec} x$ | $\dfrac{1}{\lvert x\rvert\sqrt{x^2 - 1}}$ |

Cada fórmula sale de la [derivación implícita](/practice-problems/implicit-differentiation). Consulta la [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x), la [derivada de arctan x](/derivatives/arctan-x) y la [derivada de arcsec x](/derivatives/arcsec-x) para ver las demostraciones completas.

## Ejercicios

**Fórmulas básicas**

1. $y = 3\arctan x - 2\arcsin x$
2. $y = \arctan(3x)$
3. $y = \arccos(2x)$

**Regla de la cadena**

4. $y = \arcsin(x^2)$
5. $y = \arctan\!\left(\sqrt{x}\right)$
6. $y = \arctan(e^x)$
7. $y = \operatorname{arcsec}(3x)$ para $x > \frac{1}{3}$

**Con otras reglas**

8. $y = x\arctan x$
9. $y = \ln(\arctan x)$ para $x > 0$
10. $y = \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$

**Simplifica y aplica**

11. $y = \arctan x + \arctan\!\left(\dfrac{1}{x}\right)$ para $x > 0$
12. Halla la recta tangente a $y = \arctan x$ en $x = 1$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{1 + x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$ |
| 2 | $\dfrac{3}{1 + 9x^2}$ |
| 3 | $-\dfrac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$ |
| 4 | $\dfrac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$ |
| 5 | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$ |
| 6 | $\dfrac{e^x}{1 + e^{2x}}$ |
| 7 | $\dfrac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$ |
| 8 | $\arctan x + \dfrac{x}{1 + x^2}$ |
| 9 | $\dfrac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$ |
| 10 | $\dfrac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} = \sqrt{\dfrac{1 - x}{1 + x}}$ |
| 11 | $0$ |
| 12 | $y = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Usa la tabla para cada término:

$$y' = \frac{3}{1 + x^2} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}$$

**2.** Con $u = 3x$, $u' = 3$ y $u^2 = 9x^2$:

$$y' = \frac{3}{1 + (3x)^2} = \frac{3}{1 + 9x^2}$$

**3.** Con $u = 2x$, $u' = 2$ y $u^2 = 4x^2$. Mantén el signo menos del arcocoseno:

$$y' = -\frac{2}{\sqrt{1 - 4x^2}}$$

**4.** Con $u = x^2$, $u' = 2x$ y $u^2 = x^4$:

$$y' = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**5.** Con $u = \sqrt{x}$, $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y $u^2 = x$:

$$y' = \frac{1}{1 + x}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1 + x)}$$

**6.** Con $u = e^x$, $u' = e^x$ y $u^2 = e^{2x}$:

$$y' = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$$

**7.** Con $u = 3x > 1$, $|u| = 3x$ y $u' = 3$:

$$y' = \frac{3}{3x\sqrt{9x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{9x^2 - 1}}$$

**8.** Usa la [regla del producto](/rules/product-rule):

$$y' = 1\cdot\arctan x + x\cdot\frac{1}{1 + x^2} = \arctan x + \frac{x}{1 + x^2}$$

**9.** Usa $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ con $u = \arctan x$:

$$y' = \frac{\frac{1}{1 + x^2}}{\arctan x} = \frac{1}{(1 + x^2)\arctan x}$$

**10.** La derivada de $\sqrt{1 - x^2}$ es $\frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$. Suma las dos partes:

$$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Como $1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$, esto se simplifica a $\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ para $-1 < x < 1$.

**11.** Para el segundo término, $u = \frac{1}{x}$ y $u' = -\frac{1}{x^2}$:

$$\frac{d}{dx}\arctan\frac{1}{x} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2 + 1}$$

Así que $y' = \frac{1}{1 + x^2} - \frac{1}{1 + x^2} = 0$. La función es constante para $x > 0$. En $x = 1$ vale $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$, así que $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ para todo $x > 0$.

**12.** El punto es $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$. La pendiente es $\frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{2}$:

$$y - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}(x - 1) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Elevar al cuadrado solo $x$ y no toda la función interior.** En el ejercicio 2 el denominador es $1 + (3x)^2 = 1 + 9x^2$, no $1 + 3x^2$.
- **Olvidar $u'$ en el numerador.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2)$ necesita el $2x$ en el numerador.
- **Confundir $\arcsin x$ con $\frac{1}{\sin x}$.** $\arcsin x$ es la función inversa, y $\frac{1}{\sin x}$ es $\csc x$. Sus derivadas son completamente distintas.
- **Olvidar el signo menos del arcocoseno.** El ejercicio 3 tiene respuesta negativa porque $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de derivadas trigonométricas inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-trig-derivatives) y la [lección de derivadas de funciones inversas](/learn/calculus-1/derivative-rules/inverse-function-derivatives). Para repasar primero las funciones trigonométricas normales, usa los [ejercicios de derivadas trigonométricas](/practice-problems/derivatives-of-trig-functions).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas inversas?

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^2}$, $(\operatorname{arcsec} x)' = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ y $(\operatorname{arccsc} x)' = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$.

### ¿Cómo se halla la derivada de arcsen(u)?

Usa la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}\arcsin u = \frac{u'}{\sqrt{1 - u^2}}$. Para $\arcsin(x^2)$, $u = x^2$ y $u' = 2x$, así que la derivada es $\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$.

### ¿Cómo se deduce la derivada de arcsen x?

Escribe $y = \arcsin x$ como $\sin y = x$ y deriva implícitamente: $\cos y\,y' = 1$. Como $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ en el recorrido del arcoseno, $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.