# Ejercicios de derivadas trigonométricas resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de derivadas trigonométricas con respuestas y soluciones completas: sen, cos, tan, sec, csc y cot, con reglas del producto, cociente y cadena.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-derivadas-trigonometricas
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidades 2 y 3
- **Necesitas:** Las seis derivadas trigonométricas y las [reglas del producto y del cociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules)
- **Idea principal:** Aprende las seis derivadas básicas y luego combínalas con las demás reglas
- **Practica con números nuevos:** [Lección de derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives)

## Ideas clave

- Las derivadas de las funciones "co", $\cos x$, $\csc x$ y $\cot x$, empiezan todas con un signo menos.
- Parejas para recordar: $\tan x \to \sec^2 x$, $\sec x \to \sec x\tan x$, $\cot x \to -\csc^2 x$, $\csc x \to -\csc x\cot x$.
- Después de aplicar la regla del cociente, busca $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. A menudo simplifica la respuesta, como en el ejercicio 6.

Estos **ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas** empiezan con las seis derivadas básicas, añaden las reglas del producto y del cociente, después la regla de la cadena, y terminan con una segunda derivada y una recta tangente. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las seis derivadas que necesitas:

| Función | Derivada |
| --- | --- |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |

Cada una tiene su propia página con demostración, por ejemplo la [derivada de tan x](/derivatives/tan-x) y la [derivada de sec x](/derivatives/sec-x). Para una visión de conjunto, lee la [guía de derivadas trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Ejercicios

**Derivadas básicas**

1. $y = 3\sin x - 2\cos x$
2. $y = \tan x + \sec x$
3. $y = 4\csc x - \cot x$

**Reglas del producto y del cociente**

4. $y = x^2\cos x$
5. $y = \sin x\cos x$
6. $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$

**Regla de la cadena**

7. $y = \sin(5x)$
8. $y = \cos(x^2)$
9. $y = \tan^3 x$
10. $y = \sec(3x)$

**Segundas derivadas y rectas tangentes**

11. Halla $y''$ para $y = \sin(2x)$.
12. Halla la recta tangente a $y = \tan x$ en $x = \frac{\pi}{4}$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $3\cos x + 2\sin x$ |
| 2 | $\sec^2 x + \sec x\tan x$ |
| 3 | $-4\csc x\cot x + \csc^2 x$ |
| 4 | $2x\cos x - x^2\sin x$ |
| 5 | $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$ |
| 6 | $\dfrac{1}{1 + \cos x}$ |
| 7 | $5\cos(5x)$ |
| 8 | $-2x\sin(x^2)$ |
| 9 | $3\tan^2 x\sec^2 x$ |
| 10 | $3\sec(3x)\tan(3x)$ |
| 11 | $-4\sin(2x)$ |
| 12 | $y = 2x + 1 - \dfrac{\pi}{2}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Deriva cada término. El signo menos de $(\cos x)' = -\sin x$ se encuentra con el $-2$:

$$y' = 3\cos x - 2(-\sin x) = 3\cos x + 2\sin x$$

**2.** Usa las dos derivadas directamente de la tabla:

$$y' = \sec^2 x + \sec x\tan x$$

**3.** Tanto $\csc x$ como $\cot x$ tienen derivadas negativas:

$$y' = 4(-\csc x\cot x) - (-\csc^2 x) = -4\csc x\cot x + \csc^2 x$$

**4.** Usa la [regla del producto](/rules/product-rule) con $f = x^2$ y $g = \cos x$:

$$y' = 2x\cos x + x^2(-\sin x) = 2x\cos x - x^2\sin x$$

**5.** De nuevo la regla del producto:

$$y' = \cos x\cdot\cos x + \sin x\cdot(-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$

Por la identidad del ángulo doble, esto es igual a $\cos(2x)$. Puedes confirmarlo de otra forma: $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$, cuya derivada es $\cos(2x)$.

**6.** Usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule). La derivada del denominador es $-\sin x$:

$$y' = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2}$$

Como $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, el numerador es $1 + \cos x$ y se cancela un factor:

$$y' = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$$

**7.** La función interior es $5x$, con derivada $5$:

$$y' = \cos(5x)\cdot 5 = 5\cos(5x)$$

**8.** La función interior es $x^2$, con derivada $2x$:

$$y' = -\sin(x^2)\cdot 2x = -2x\sin(x^2)$$

**9.** Escribe $y = (\tan x)^3$. La función de fuera es un cubo y la de dentro es $\tan x$:

$$y' = 3(\tan x)^2\cdot\sec^2 x = 3\tan^2 x\sec^2 x$$

**10.** La función de fuera es $\sec u$, con derivada $\sec u\tan u$, y $u = 3x$:

$$y' = \sec(3x)\tan(3x)\cdot 3 = 3\sec(3x)\tan(3x)$$

**11.** Deriva dos veces, usando la regla de la cadena en cada paso:

$$y' = 2\cos(2x), \qquad y'' = 2\cdot(-\sin(2x))\cdot 2 = -4\sin(2x)$$

**12.** El punto es $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. La pendiente es $\sec^2\frac{\pi}{4} = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$:

$$y - 1 = 2\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \quad\Rightarrow\quad y = 2x + 1 - \frac{\pi}{2}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Olvidar el signo menos.** Las derivadas de $\cos x$, $\cot x$ y $\csc x$ son todas negativas. El ejercicio 3 tiene dos de ellas.
- **Escribir $\sec^2 x$ como $\sec(x^2)$.** $\sec^2 x$ significa $(\sec x)^2$. Son funciones muy distintas.
- **Olvidar la derivada interior.** $\sin(5x)$ tiene derivada $5\cos(5x)$, no $\cos(5x)$.
- **Usar grados.** En el ejercicio 12 el ángulo es $\frac{\pi}{4}$ radianes. Usar $45$ en la recta tangente sería incorrecto.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de derivadas trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/trig-derivatives) y después la [lección de la regla de la cadena con funciones trigonométricas](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-trig). Para las funciones inversas, como $\arcsin x$ y $\arctan x$, pasa a los [ejercicios de derivadas de funciones trigonométricas inversas](/practice-problems/inverse-trig-derivatives).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuáles son las derivadas de las seis funciones trigonométricas?

$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \sec^2 x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$, $(\sec x)' = \sec x\tan x$ y $(\csc x)' = -\csc x\cot x$. Todas usan radianes.

### ¿Por qué la derivada de sen x es cos x?

A partir de la definición por límite, $\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$ se descompone con la fórmula del seno de la suma en $\sin x\cdot\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x\cdot\frac{\sin h}{h}$. Cuando $h\to 0$, el primer límite es $0$ y el segundo es $1$, lo que deja $\cos x$.

### ¿Funcionan las derivadas trigonométricas en grados?

No en esta forma. La regla $(\sin x)' = \cos x$ necesita $x$ en radianes. En grados aparece un factor extra de $\frac{\pi}{180}$, y por eso en cálculo siempre se usan radianes.