# Ejercicios de ecuaciones diferenciales resueltos con respuestas > 12 ejercicios de ecuaciones diferenciales con respuestas: variables separables, crecimiento exponencial, enfriamiento, logística y método de Euler. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-ecuaciones-diferenciales Actualizado: 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \;\Rightarrow\; \int\frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus, unidad 7 - **Necesitas:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives), logaritmos y exponenciales - **Idea principal:** Separa las variables, integra ambos lados y usa la condición inicial para hallar $C$ - **Practica con números nuevos:** [Lección de ecuaciones de variables separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations) ## Ideas clave - Separa: pasa toda $y$ al lado de $dy$ y toda $x$ al lado de $dx$, y luego integra ambos lados. - Añade la constante justo después de integrar, antes de despejar $y$. - La ecuación $\frac{dy}{dt} = ky$ siempre da $y = y_0e^{kt}$. Aprende a reconocerla en los problemas con enunciado. Estos **ejercicios de ecuaciones diferenciales** cubren ecuaciones de variables separables, crecimiento y decaimiento exponencial, la ley de enfriamiento de Newton, el crecimiento logístico, las soluciones de equilibrio y el método de Euler. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas. El método para una ecuación de variables separables: $$\frac{dy}{dx} = g(x)\,h(y) \quad\Rightarrow\quad \int\frac{1}{h(y)}\,dy = \int g(x)\,dx$$ Separa, integra ambos lados, añade $C$ y después despeja $y$. ## Ejercicios **Ecuaciones de variables separables** 1. $\dfrac{dy}{dx} = 6x^2$, $y(0) = 2$ 2. $\dfrac{dy}{dx} = 2xy$, $y(0) = 5$ 3. $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y}$, $y(0) = 3$ 4. $\dfrac{dy}{dx} = y^2$, $y(0) = 1$ 5. $\dfrac{dy}{dx} = y\cos x$, $y(0) = 2$ **Crecimiento y decaimiento** 6. $\dfrac{dy}{dt} = -0.2y$, $y(0) = 100$. Halla $y(5)$. 7. Una muestra de 80 g tiene un periodo de semidesintegración de 10 años. ¿Cuánto queda al cabo de 25 años? 8. Un cultivo de bacterias empieza con 500 y se duplica cada 3 horas. ¿Cuándo llega a 8000? 9. Un café a $90^\circ$C se enfría en una habitación a $20^\circ$C según $\frac{dT}{dt} = -k(T - 20)$. Al cabo de 10 minutos está a $60^\circ$C. ¿Cuándo llegará a $30^\circ$C? **Análisis cualitativo y numérico** 10. Para $\dfrac{dP}{dt} = 0.4P\left(1 - \dfrac{P}{1000}\right)$, halla la capacidad de carga y la población en la que el crecimiento es más rápido. 11. Halla las soluciones de equilibrio de $\dfrac{dy}{dx} = y(y - 3)$ y di si cada una es estable. 12. Usa el método de Euler con $h = 0.1$ y dos pasos para estimar $y(0.2)$ para $\dfrac{dy}{dx} = x + y$, $y(0) = 1$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $y = 2x^3 + 2$ | | 2 | $y = 5e^{x^2}$ | | 3 | $y = \sqrt{x^2 + 9}$ | | 4 | $y = \dfrac{1}{1 - x}$ | | 5 | $y = 2e^{\sin x}$ | | 6 | $y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$ | | 7 | $80\left(\frac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 14.1$ g | | 8 | $12$ horas | | 9 | $t = \dfrac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8$ minutos | | 10 | Capacidad de carga $1000$; máximo crecimiento en $P = 500$ | | 11 | $y = 0$ estable, $y = 3$ inestable | | 12 | $y(0.2) \approx 1.22$ | ## Soluciones paso a paso **1.** No hace falta separar. Integra: $y = 2x^3 + C$. Como $y(0) = 2$, $C = 2$. **2.** Separa: $\frac{dy}{y} = 2x\,dx$. Integra: $\ln|y| = x^2 + C$. Aplica la exponencial: $y = Ae^{x^2}$. Como $y(0) = 5$, $A = 5$: $$y = 5e^{x^2}$$ **3.** Separa: $y\,dy = x\,dx$. Integra: $\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$, así que $y^2 = x^2 + C'$. Con $y(0) = 3$, $C' = 9$. Toma la raíz positiva porque $y(0) > 0$: $$y = \sqrt{x^2 + 9}$$ **4.** Separa: $y^{-2}\,dy = dx$. Integra: $-\frac{1}{y} = x + C$. Con $y(0) = 1$, $C = -1$, así que $-\frac{1}{y} = x - 1$: $$y = \frac{1}{1 - x}$$ La solución explota en $x = 1$, aunque la ecuación parezca inofensiva. **5.** Separa: $\frac{dy}{y} = \cos x\,dx$. Integra: $\ln|y| = \sin x + C$, así que $y = Ae^{\sin x}$, y $y(0) = 2$ da $A = 2$. **6.** Es $\frac{dy}{dt} = ky$ con $k = -0.2$, así que $y = 100e^{-0.2t}$: $$y(5) = 100e^{-1} \approx 36.8$$ **7.** 25 años son $2.5$ periodos de semidesintegración: $$80\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2.5} \approx 80(0.1768) \approx 14.1 \text{ g}$$ **8.** $8000 = 500\cdot 16 = 500\cdot 2^4$. Son 4 duplicaciones de 3 horas cada una, así que 12 horas. **9.** Sea $D = T - 20$. Entonces $\frac{dD}{dt} = -kD$, así que $T = 20 + 70e^{-kt}$. En $t = 10$: $40 = 70e^{-10k}$, así que $k = \frac{\ln(7/4)}{10} \approx 0.056$. Para $T = 30$: $10 = 70e^{-kt}$, así que $e^{-kt} = \frac{1}{7}$ y: $$t = \frac{\ln 7}{k} = \frac{10\ln 7}{\ln(7/4)} \approx 34.8 \text{ minutos}$$ **10.** La ecuación tiene la forma $kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$ con $L = 1000$. El lado derecho es una parábola hacia abajo en $P$ con raíces $0$ y $1000$, así que alcanza su máximo en el vértice, $P = 500$. **11.** Iguala $y(y - 3) = 0$: $y = 0$ e $y = 3$. Entre ambas, $y(y - 3) < 0$, así que las soluciones bajan hacia $0$. Por encima de $3$, $y(y - 3) > 0$, así que las soluciones suben alejándose de $3$. Por debajo de $0$, la pendiente es positiva, así que las soluciones suben hacia $0$. Eso hace que $0$ sea estable y $3$ inestable. **12.** Usa $y_{n+1} = y_n + h\cdot f(x_n, y_n)$: - Paso 1: $y_1 = 1 + 0.1(0 + 1) = 1.1$ - Paso 2: $y_2 = 1.1 + 0.1(0.1 + 1.1) = 1.22$ La solución exacta es $y = 2e^x - x - 1$, así que $y(0.2) \approx 1.2428$. Aquí el método de Euler subestima porque las curvas solución son cóncavas hacia arriba. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Añadir $C$ demasiado tarde.** En el ejercicio 2, $y = e^{x^2} + C$ es incorrecto. Añade $C$ justo después de integrar. - **No separar del todo.** $\frac{dy}{dx} = x + y$ no se puede separar. Por eso el ejercicio 12 usa el método de Euler. - **Perder las unidades de tiempo.** En el ejercicio 7, divide los 25 años entre el periodo de semidesintegración de 10 años antes de usar la fórmula. - **Usar $T$ en lugar de $T - 20$.** En los problemas de enfriamiento, la exponencial describe la diferencia con la temperatura ambiente. ## Sigue practicando Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de ecuaciones de variables separables](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/separable-equations), la [lección de crecimiento y decaimiento](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/growth-and-decay), la [lección de crecimiento logístico](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/logistic-growth) y la [lección del método de Euler](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/eulers-method). Para ver qué te dice un campo de pendientes antes de resolver, prueba la [lección de campos de pendientes](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/slope-fields). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es una ecuación diferencial de variables separables? Es una que se puede escribir como $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$, una función de $x$ por una función de $y$. Entonces puedes dividir entre $h(y)$ e integrar cada lado por separado. ### ¿Por qué se añade C antes de despejar y? Porque la constante se transforma junto con todo lo demás. En el ejercicio 2, $\ln|y| = x^2 + C$ se convierte en $y = Ae^{x^2}$, donde $A = \pm e^{C}$. Si añadieras $C$ al final obtendrías $e^{x^2} + C$, que es una función distinta e incorrecta. ### ¿Qué significa la capacidad de carga en el crecimiento logístico? Es el tamaño de población que el entorno puede sostener. En $\frac{dP}{dt} = kP\left(1 - \frac{P}{L}\right)$, la población se acerca a $L$, y crece más rápido cuando $P = \frac{L}{2}$.