# Ejercicios resueltos de integración por fracciones parciales

> 12 ejercicios de descomposición en fracciones parciales con respuestas: factores distintos y repetidos, cuadráticos irreducibles y división previa.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-fracciones-parciales
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{px + q}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC
- **Necesitas:** Factorizar, la división de polinomios y $\int\frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$
- **Idea principal:** Descompón una fracción difícil en varias fáciles e integra cada una
- **Practica con números nuevos:** [Lección de fracciones parciales](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions)

## Ideas clave

- Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador, divide primero.
- Da a cada factor lineal su propia constante, a cada factor repetido un término por cada potencia y a cada cuadrático irreducible un numerador $Bx + C$.
- Halla las constantes rápido sustituyendo las raíces del denominador, y luego iguala coeficientes para lo que falte.

Estos **ejercicios de fracciones parciales** (o fracciones simples) empiezan con dos factores lineales distintos y siguen con factores repetidos, cuadráticos irreducibles, división de polinomios e integrales definidas. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

El planteamiento para cada tipo de factor del denominador:

| Factor | Términos que incluir |
| --- | --- |
| $(x - a)$ | $\dfrac{A}{x - a}$ |
| $(x - a)^2$ | $\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2}$ |
| $x^2 + bx + c$ (sin raíces reales) | $\dfrac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$ |

Para ver ejemplos resueltos y el razonamiento, lee la [guía de fracciones parciales](/blog/partial-fractions).

## Ejercicios

**Factores lineales distintos**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x + 1)}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 - 4}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{5x - 1}{(x + 1)(x - 2)}\,dx$
4. $\displaystyle\int\frac{x + 5}{x^2 + x - 2}\,dx$

**Factores repetidos**

5. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2(x + 1)}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{3x + 5}{(x + 1)^2}\,dx$

**Cuadráticos irreducibles**

7. $\displaystyle\int\frac{1}{x(x^2 + 1)}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)(x^2 + 1)}\,dx$

**Primero la división**

9. $\displaystyle\int\frac{x^2 + 1}{x - 1}\,dx$
10. $\displaystyle\int\frac{x^3}{x^2 - 1}\,dx$

**Integrales definidas**

11. $\displaystyle\int_2^3\frac{1}{x^2 - 1}\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^1\frac{2}{(x + 1)(x + 2)}\,dx$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{4}\ln\left\lvert\dfrac{x - 2}{x + 2}\right\rvert + C$ |
| 3 | $2\ln\lvert x + 1\rvert + 3\ln\lvert x - 2\rvert + C$ |
| 4 | $2\ln\lvert x - 1\rvert - \ln\lvert x + 2\rvert + C$ |
| 5 | $-\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{x} + \ln\lvert x + 1\rvert + C$ |
| 6 | $3\ln\lvert x + 1\rvert - \dfrac{2}{x + 1} + C$ |
| 7 | $\ln\lvert x\rvert - \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + \dfrac{1}{4}\ln(x^2 + 1) + \dfrac{1}{2}\arctan x + C$ |
| 9 | $\dfrac{x^2}{2} + x + 2\ln\lvert x - 1\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{2}\ln\lvert x^2 - 1\rvert + C$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2} \approx 0.2027$ |
| 12 | $2\ln\dfrac{4}{3} \approx 0.5754$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Escribe $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$, así que $1 = A(x + 1) + Bx$. Sustituye $x = 0$: $A = 1$. Sustituye $x = -1$: $B = -1$:

$$\int\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}\right)dx = \ln|x| - \ln|x + 1| + C$$

**2.** Factoriza: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Entonces $1 = A(x + 2) + B(x - 2)$. En $x = 2$, $A = \frac{1}{4}$. En $x = -2$, $B = -\frac{1}{4}$. Junta los dos logaritmos en uno.

**3.** $5x - 1 = A(x - 2) + B(x + 1)$. En $x = -1$: $-6 = -3A$, así que $A = 2$. En $x = 2$: $9 = 3B$, así que $B = 3$.

**4.** Factoriza: $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$. Entonces $x + 5 = A(x - 1) + B(x + 2)$. En $x = 1$: $6 = 3B$, así que $B = 2$. En $x = -2$: $3 = -3A$, así que $A = -1$.

**5.** El factor $x^2$ está repetido, así que escribe $\frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}$. Entonces $1 = Ax(x + 1) + B(x + 1) + Cx^2$. En $x = 0$: $B = 1$. En $x = -1$: $C = 1$. Iguala los términos en $x^2$: $A + C = 0$, así que $A = -1$:

$$\int\left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1}\right)dx = -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x + 1| + C$$

**6.** Escribe el numerador en función de $x + 1$: $3x + 5 = 3(x + 1) + 2$. Así que la fracción es $\frac{3}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2}$. El segundo término se integra con la regla de la potencia y da $-\frac{2}{x + 1}$.

**7.** Escribe $\frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$, así que $1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x$. En $x = 0$: $A = 1$. Iguala $x^2$: $A + B = 0$, así que $B = -1$. Iguala $x$: $C = 0$. El término $\frac{-x}{x^2 + 1}$ se integra como $-\frac{1}{2}\ln(x^2 + 1)$.

**8.** Escribe $\frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1}$, así que $x^2 + x + 1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x + 1)$. En $x = -1$: $1 = 2A$, así que $A = \frac{1}{2}$. Iguala $x^2$: $1 = A + B$, así que $B = \frac{1}{2}$. Iguala los términos independientes: $1 = A + C$, así que $C = \frac{1}{2}$. Entonces:

$$\int\left(\frac{1/2}{x + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2 + 1}\right)dx$$

Las tres partes dan un logaritmo, otro logaritmo por cambio de variable y una arcotangente.

**9.** El numerador tiene grado 2 y el denominador grado 1, así que divide: $x^2 + 1 = (x - 1)(x + 1) + 2$. El integrando queda $x + 1 + \frac{2}{x - 1}$.

**10.** Divide: $x^3 = x(x^2 - 1) + x$, así que el integrando es $x + \frac{x}{x^2 - 1}$. El segundo término sale con el cambio $u = x^2 - 1$ y da $\frac{1}{2}\ln|x^2 - 1|$.

**11.** Como en el ejercicio 2, $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)$:

$$\frac{1}{2}\left[\ln\frac{x - 1}{x + 1}\right]_2^3 = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$$

**12.** $\frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x + 2}$:

$$2\Big[\ln(x + 1) - \ln(x + 2)\Big]_0^1 = 2\big[(\ln 2 - \ln 3) - (0 - \ln 2)\big] = 2\ln\frac{4}{3}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Saltarse la división.** En el ejercicio 9, descomponer $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ sin dividir primero da un planteamiento sin solución.
- **Un solo término para un factor repetido.** $\frac{1}{x^2(x + 1)}$ necesita tanto $\frac{A}{x}$ como $\frac{B}{x^2}$.
- **Una constante sobre un cuadrático.** Un cuadrático irreducible necesita $Bx + C$ en el numerador, no solo $B$.
- **Integrar $\frac{1}{(x + 1)^2}$ como un logaritmo.** Es una potencia: $\int(x + 1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x + 1}$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de fracciones parciales](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions) y la [lección de factores repetidos](/learn/calculus-2/integration-techniques/partial-fractions-repeated). Consulta también la [integral de 1/(x² − 1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1). Después, combina todos los métodos en la [práctica de técnicas de integración](/learn/calculus-2/integration-techniques/techniques-practice).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuándo se usan las fracciones parciales?

Se usan con una función racional, un polinomio entre otro polinomio, cuando el denominador se factoriza y no sirve un cambio de variable sencillo. Si el numerador es la derivada del denominador, como en $\frac{2x}{x^2 + 1}$, usa un cambio de variable.

### ¿Qué es el método de tapar (cover-up)?

Para un factor lineal simple $(x - a)$, tápalo en la fracción original y sustituye $x = a$ en lo que queda. El resultado es la constante sobre $(x - a)$. Es lo mismo que sustituir la raíz después de quitar denominadores.

### ¿Qué se hace con un factor repetido como (x+1)²?

Incluye un término por cada potencia: $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}$. El término al cuadrado se integra con la regla de la potencia y da $-\frac{B}{x + 1}$, no un logaritmo. Los ejercicios 5 y 6 lo muestran.