# Ejercicios de integración por partes resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de integración por partes con respuestas y soluciones completas: x eˣ, ln x, arctan x, partes repetidas y el ciclo de e^x sin x.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integracion-por-partes
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int u\,dv = uv - \int v\,du $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 6
- **Necesitas:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) y [sustitución](/practice-problems/u-substitution)
- **Idea principal:** Elige $u$ de modo que se simplifique al derivarla y $dv$ de modo que sea fácil de integrar
- **Practica con números nuevos:** [Lección de integración por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts)

## Ideas clave

- Usa LIATE (o ILATE) para elegir $u$: logaritmos, inversas trigonométricas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales. El tipo que aparece antes suele ser $u$.
- Para $x^n$ por $e^x$, $\sin x$ o $\cos x$, aplica partes $n$ veces. Cada vuelta baja la potencia en uno.
- Para $e^{ax}\sin bx$ o $e^{ax}\cos bx$, aplica partes dos veces y despeja la integral que reaparece.

Estos **ejercicios de integración por partes** empiezan con una sola aplicación de partes y avanzan hasta partes repetidas, el método tabular e integrales que vuelven a sí mismas. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La fórmula sale de la regla del producto:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Elige $u$ y $dv$, halla $du$ y $v$, y completa la fórmula. Para saber más sobre la fórmula, lee la [regla de integración por partes](/rules/integration-by-parts-rule).

## Ejercicios

**Una aplicación de partes**

1. $\displaystyle\int x\,e^x\,dx$
2. $\displaystyle\int x\cos x\,dx$
3. $\displaystyle\int \ln x\,dx$
4. $\displaystyle\int x\ln x\,dx$
5. $\displaystyle\int x\sin(2x)\,dx$
6. $\displaystyle\int \arctan x\,dx$

**Partes repetidas**

7. $\displaystyle\int x^2 e^x\,dx$
8. $\displaystyle\int x^2\cos x\,dx$

**Integrales que vuelven a sí mismas**

9. $\displaystyle\int e^x\sin x\,dx$
10. $\displaystyle\int e^{2x}\cos x\,dx$

**Integrales definidas**

11. $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$
12. $\displaystyle\int_1^{e} x\ln x\,dx$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $(x - 1)e^x + C$ |
| 2 | $x\sin x + \cos x + C$ |
| 3 | $x\ln x - x + C$ |
| 4 | $\dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C$ |
| 5 | $-\dfrac{x\cos(2x)}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4} + C$ |
| 6 | $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$ |
| 7 | $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$ |
| 8 | $x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$ |
| 9 | $\dfrac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$ |
| 10 | $\dfrac{e^{2x}(2\cos x + \sin x)}{5} + C$ |
| 11 | $1$ |
| 12 | $\dfrac{e^2 + 1}{4}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Sea $u = x$ y $dv = e^x\,dx$, así que $du = dx$ y $v = e^x$:

$$x e^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = (x - 1)e^x + C$$

**2.** Sea $u = x$ y $dv = \cos x\,dx$, así que $v = \sin x$:

$$x\sin x - \int\sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

**3.** Sea $u = \ln x$ y $dv = dx$, así que $du = \frac{1}{x}dx$ y $v = x$:

$$x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

**4.** Los logaritmos van primero en LIATE, así que $u = \ln x$ y $dv = x\,dx$, lo que da $v = \frac{x^2}{2}$:

$$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

**5.** Sea $u = x$ y $dv = \sin(2x)\,dx$, así que $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$:

$$-\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx = -\frac{x\cos(2x)}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$

**6.** Sea $u = \arctan x$ y $dv = dx$, así que $du = \frac{1}{1+x^2}dx$ y $v = x$:

$$x\arctan x - \int\frac{x}{1 + x^2}\,dx$$

La última integral es una sustitución con $u = 1 + x^2$, que da $\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)$.

**7.** Usa el método tabular. Derivadas de $x^2$: $x^2, 2x, 2, 0$. Integrales de $e^x$: $e^x, e^x, e^x$. Multiplica en diagonal con signos $+, -, +$:

$$x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$$

**8.** De nuevo el método tabular. Derivadas: $x^2, 2x, 2, 0$. Integrales de $\cos x$: $\sin x, -\cos x, -\sin x$. Con signos $+, -, +$:

$$x^2\sin x - 2x(-\cos x) + 2(-\sin x) = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$

**9.** Llama $I$ a la integral. Con $u = \sin x$ y $dv = e^x\,dx$: $I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$. Aplica partes otra vez con $u = \cos x$: $\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + I$. Así:

$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I \quad\Rightarrow\quad I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

**10.** Sea $I = \int e^{2x}\cos x\,dx$. Toma $u = e^{2x}$ las dos veces. Primero, $I = e^{2x}\sin x - 2\int e^{2x}\sin x\,dx$. Segundo, $\int e^{2x}\sin x\,dx = -e^{2x}\cos x + 2I$. Júntalo todo:

$$I = e^{2x}\sin x + 2e^{2x}\cos x - 4I \quad\Rightarrow\quad 5I = e^{2x}(\sin x + 2\cos x)$$

**11.** A partir del ejercicio 1:

$$\big[(x - 1)e^x\big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$$

**12.** A partir del ejercicio 4, usando $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$:

$$\left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Elegir $u$ al revés.** En el ejercicio 4, tomar $u = x$ y $dv = \ln x\,dx$ significa que ya debes conocer $\int\ln x\,dx$. Sigue LIATE.
- **Errores de signo en la segunda vuelta.** En los ejercicios 7 y 8, el signo menos delante de $\int v\,du$ afecta a todo lo que sigue. El método tabular mantiene los signos en orden.
- **Cambiar el tipo de $u$ y $dv$ a mitad del ciclo.** En el ejercicio 10, si tomas $u = e^{2x}$ primero y $u = \sin x$ después, deshaces el primer paso y obtienes $I = I$.
- **Olvidar el $\frac{1}{2}$ en $v$.** Cuando $dv = \sin(2x)\,dx$, $v = -\frac{1}{2}\cos(2x)$, no $-\cos(2x)$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la [lección de integración por partes](/learn/calculus-2/integration-techniques/integration-by-parts) y la [lección de partes repetidas y LIATE](/learn/calculus-2/integration-techniques/repeated-parts-and-liate). Para más ejemplos, consulta la [integral de x e^x](/integrals/x-e-to-the-x), la [integral de ln x](/integrals/ln-x) y la [guía de integración por partes](/blog/integration-by-parts). Después prueba los [ejercicios de integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se eligen u y dv?

Elige $u$ de modo que $du$ sea más sencilla, y $dv$ de modo que puedas integrarla. LIATE es una guía rápida: primero logaritmos, luego inversas trigonométricas, algebraicas, trigonométricas y exponenciales. Para $\int x\ln x\,dx$, $u = \ln x$ porque $\ln x$ es difícil de integrar pero fácil de derivar.

### ¿Cómo se integra ln x?

Trátalo como $\ln x \cdot 1$, con $u = \ln x$ y $dv = dx$. Entonces $\int\ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$. El ejercicio 3 lo muestra.

### ¿Qué es el método tabular?

Un atajo para aplicar partes repetidas cuando $u$ es un polinomio. Escribe las derivadas de $u$ en una columna hasta llegar a $0$, las integrales de $dv$ en otra, multiplica en diagonal y alterna los signos $+, -, +, \dots$ El ejercicio 7 lo muestra.