# Ejercicios resueltos de integración por sustitución con soluciones

> 12 ejercicios de integración por sustitución con respuestas y soluciones paso a paso, de (x²+1)⁵ a ln x / x, despejando x e integrales definidas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integracion-por-sustitucion
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1, Cálculo 2 y AP Calculus AB, unidad 6
- **Necesitas:** Las antiderivadas básicas y la [regla de la cadena](/rules/chain-rule)
- **Idea principal:** Toma como $u$ la función interior, cambia $g'(x)\,dx$ por $du$ e integra en $u$
- **Practica con números nuevos:** [Lección de sustitución](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution)

## Ideas clave

- Elige como $u$ el interior de una función compuesta cuya derivada también aparezca, salvo una constante.
- Después de sustituir no debe quedar ninguna $x$. Si queda alguna, despeja $x$ de $u = g(x)$ y sustitúyela.
- En una integral definida, cambia los límites a valores de $u$ para no tener que deshacer el cambio.

Estos **ejercicios de integración por sustitución** (cambio de variable) empiezan con funciones interiores claras y avanzan hacia logaritmos, deshacer el cambio despejando la variable e integrales definidas con límites nuevos. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

El método:

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$$

Iguala $u$ a la función interior, calcula $du$, sustituye todo, integra y vuelve a poner $x$. Si necesitas un repaso, lee la [regla de sustitución](/rules/u-substitution-rule).

## Ejercicios

**La derivada está a la vista**

1. $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx$
2. $\displaystyle\int \cos(3x)\,dx$
3. $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$
4. $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx$

**Logaritmos y trigonometría**

5. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
6. $\displaystyle\int \tan x\,dx$
7. $\displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx$
8. $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$
9. $\displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx$

**Despejar x**

10. $\displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx$

**Integrales definidas**

11. $\displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$ |
| 2 | $\dfrac{\sin(3x)}{3} + C$ |
| 3 | $\dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ |
| 4 | $\dfrac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C$ |
| 5 | $\dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$ |
| 6 | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ |
| 7 | $-\dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ |
| 8 | $\ln(1 + e^x) + C$ |
| 9 | $\ln\lvert\ln x\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$ |
| 11 | $78$ |
| 12 | $e - 1$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Sea $u = x^2 + 1$, así que $du = 2x\,dx$. Es exactamente lo que hay delante:

$$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$

**2.** Sea $u = 3x$, así que $du = 3\,dx$ y $dx = \frac{1}{3}du$:

$$\frac{1}{3}\int\cos u\,du = \frac{\sin(3x)}{3} + C$$

**3.** Sea $u = x^2$, así que $du = 2x\,dx$ y $x\,dx = \frac{1}{2}du$:

$$\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

**4.** Sea $u = x^3 + 1$, así que $du = 3x^2\,dx$ y $x^2\,dx = \frac{1}{3}du$:

$$\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + C$$

**5.** Sea $u = \ln x$, así que $du = \frac{1}{x}dx$:

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

**6.** Escribe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Sea $u = \cos x$, así que $du = -\sin x\,dx$:

$$-\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|\cos x| + C$$

Es lo mismo que $\ln|\sec x| + C$. Consulta la [integral de tan x](/integrals/tan-x).

**7.** Sea $u = \cos x$, así que $\sin x\,dx = -du$:

$$-\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$$

**8.** Sea $u = 1 + e^x$, así que $du = e^x\,dx$. Como $1 + e^x > 0$, no hace falta valor absoluto:

$$\int\frac{1}{u}\,du = \ln(1 + e^x) + C$$

**9.** Sea $u = \ln x$, así que $du = \frac{1}{x}dx$. La integral queda $\int\frac{1}{u}\,du$:

$$\ln|\ln x| + C$$

**10.** Sea $u = x + 1$, así que $du = dx$. Todavía queda una $x$, así que despéjala: $x = u - 1$. Entonces:

$$\int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int\left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$

Vuelve a poner $u = x + 1$ para obtener la respuesta de la tabla.

**11.** Sea $u = x^2 + 1$, así que $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Cambia los límites: $x = 0$ da $u = 1$ y $x = 2$ da $u = 5$:

$$\frac{1}{2}\int_1^5 u^3\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} = \frac{624}{8} = 78$$

**12.** Sea $u = \sin x$, así que $du = \cos x\,dx$. Los límites pasan a ser $u = 0$ y $u = 1$:

$$\int_0^1 e^u\,du = e - 1$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Dejar $dx$ en la integral.** Después de sustituir, todo debe estar en función de $u$ y $du$. Si queda un $dx$, falta un paso.
- **Dividir entre una variable.** En $\int e^{x^2}\,dx$ no hay ningún factor $x$, así que $u = x^2$ no funciona. Puedes arreglar constantes, no variables.
- **Mantener los límites antiguos.** En el ejercicio 11, integrar $u^3$ de $0$ a $2$ da una respuesta incorrecta. Cambia los límites o vuelve primero a $x$.
- **Olvidar deshacer el cambio.** Una respuesta indefinida debe estar en función de $x$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la [lección de sustitución](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) y el [repaso de Cálculo 2](/learn/calculus-2/integration-techniques/u-substitution-refresher). Para ver más ejemplos resueltos, lee la [guía de integración por sustitución](/blog/u-substitution). Cuando la sustitución deje de funcionar con productos, sigue con los [ejercicios de integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se elige u en la integración por sustitución?

Busca una función dentro de otra, como el $x^2 + 1$ de $(x^2+1)^5$, cuya derivada también aparezca como factor. Si falta una constante no pasa nada, porque puedes dividir entre ella. Si la elección deja términos en $x$ que no puedes sustituir, prueba otro $u$.

### ¿Qué pasa si la derivada de u no coincide por una constante?

Divide entre la constante. En $\int x\,e^{x^2}\,dx$, $du = 2x\,dx$, así que $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Así solo se pueden arreglar constantes, no variables que falten.

### ¿La sustitución es la regla de la cadena al revés?

Sí. La regla de la cadena da $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$, así que al integrar $F'(g(x))g'(x)$ se recupera $F(g(x)) + C$. Cualquier resultado obtenido por sustitución se puede comprobar derivando con la regla de la cadena.