# Ejercicios de integrales definidas resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de integrales definidas con respuestas y soluciones completas: polinomios, trigonometría, simetría, valor absoluto, geometría y propiedades.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integrales-definidas
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 6
- **Necesitas:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) y las [propiedades de la integral definida](/rules/definite-integral-properties)
- **Idea principal:** Halla una antiderivada y resta su valor en el límite inferior de su valor en el límite superior
- **Practica con números nuevos:** [Lección de área con signo](/learn/calculus-1/integrals/signed-area)

## Ideas clave

- Evalúa como $F(b) - F(a)$ y pon paréntesis alrededor de $F(a)$ para que el signo menos afecte a todos los términos.
- Una integral definida da un área con signo: el área por debajo del eje $x$ cuenta como negativa.
- Usa la simetría, la geometría y las propiedades de la integral para ahorrarte trabajo cuando puedas.

Estos **ejercicios de integrales definidas** empiezan con el cálculo directo y pasan a la simetría, los valores absolutos, la geometría y las propiedades de la integral. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La herramienta para casi todos los ejercicios es el [Teorema Fundamental del Cálculo, segunda parte](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{donde } F' = f$$

## Ejercicios

**Cálculo directo**

1. $\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$
2. $\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$
3. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$
4. $\displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx$
5. $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx$
6. $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$

**Atajos y división del intervalo**

7. $\displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx$
8. $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$
9. Sabiendo que $\int_0^5 f(x)\,dx = 8$ y $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$, halla $\int_2^5 f(x)\,dx$, $\int_5^2 2f(x)\,dx$ y $\int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx$.
10. $\displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx$ (usa la geometría)

**Significado**

11. Halla el valor medio de $f(x) = x^2$ en $[0, 3]$.
12. Halla $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ y el área total entre $y = \sin x$ y el eje $x$ en $[0, 2\pi]$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $12$ |
| 2 | $\frac{14}{3}$ |
| 3 | $1$ |
| 4 | $1$ |
| 5 | $6$ |
| 6 | $e - 1$ |
| 7 | $0$ |
| 8 | $\frac{5}{2}$ |
| 9 | $5$, $-10$, $13$ |
| 10 | $\frac{9\pi}{2}$ |
| 11 | $3$ |
| 12 | Integral $0$, área total $4$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Una antiderivada es $\frac{x^3}{3} + x$:

$$\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$

**2.** Escribe $\sqrt{x} = x^{1/2}$, cuya antiderivada es $\frac{2}{3}x^{3/2}$:

$$\frac{2}{3}\left(4^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$

**3.** Una antiderivada de $\cos x$ es $\sin x$:

$$\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$$

**4.** Una antiderivada de $\frac{1}{x}$ es $\ln x$ para $x > 0$:

$$\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

**5.** Una antiderivada es $x^3 - x^2$. Mantén los paréntesis alrededor del valor en el límite inferior:

$$\big(8 - 4\big) - \big((-1) - 1\big) = 4 - (-2) = 6$$

**6.** $e^x$ es su propia antiderivada:

$$e^1 - e^0 = e - 1$$

**7.** $x^3$ es una función impar y el intervalo $[-2, 2]$ es simétrico respecto a $0$. El área de la izquierda cancela el área de la derecha, así que la integral vale $0$. Comprobación: $\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0$.

**8.** $|x - 1|$ cambia de fórmula en $x = 1$. Divide ahí:

$$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

Los dos trozos son triángulos: uno de base $1$ y altura $1$, y otro de base $2$ y altura $2$.

**9.** El intervalo $[0, 5]$ se divide en $[0, 2]$ y $[2, 5]$, así que $\int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5$. Intercambiar los límites cambia el signo, así que $\int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10$. Para la última, $\int_2^5 1\,dx = 3$, así que la respuesta es $2(5) + 3 = 13$. Consulta las [propiedades de la integral definida](/rules/definite-integral-properties).

**10.** $y = \sqrt{9 - x^2}$ es la mitad superior de una circunferencia de radio $3$. La mitad de $\pi r^2$ es:

$$\frac{1}{2}\pi(3)^2 = \frac{9\pi}{2}$$

**11.** El valor medio es $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$:

$$\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$$

**12.** La integral es $[-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$. La joroba por encima del eje cancela la joroba por debajo. Para el área total, suma las dos jorobas como números positivos. Cada una tiene área $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2$, así que el área total es $4$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Quitar los paréntesis de $F(a)$.** En el ejercicio 5, escribir $4 - 1 - 1$ en lugar de $4 - (-2)$ da $2$ en vez de $6$.
- **Confundir el área con signo con el área total.** El ejercicio 12 muestra que pueden ser muy distintas. Busca la palabra "área" en el enunciado.
- **Integrar $|x - 1|$ de una sola vez.** Los valores absolutos se dividen donde lo de dentro cambia de signo.
- **Olvidar que intercambiar los límites cambia el signo.** $\int_5^2$ es el opuesto de $\int_2^5$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con integrales definidas y corrección al instante, prueba la [lección de área con signo](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) y la [lección del Teorema Fundamental, segunda parte](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2). Después pasa a los [ejercicios del Teorema Fundamental](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus) y a los [ejercicios de área entre curvas](/practice-problems/area-between-curves).

## Preguntas frecuentes

### ¿Hace falta +C en una integral definida?

No. La constante se cancela al restar: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Una integral definida es un número.

### ¿Puede ser negativa una integral definida?

Sí. Si en $[a, b]$ hay más gráfica por debajo del eje $x$ que por encima, la integral es negativa. Si lo que quieres es el área total, integra $|f(x)|$, como en el ejercicio 12.

### ¿Qué pasa si intercambias los límites?

El signo cambia: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. El ejercicio 9 usa esta propiedad.