# Ejercicios de integrales dobles resueltos con respuestas > 12 ejercicios de integrales dobles con respuestas: integrales iteradas, regiones generales, cambio de orden, coordenadas polares, volumen y valor medio. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integrales-dobles Actualizado: 2026-11-06 $$ \iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 3 - **Necesitas:** [Integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals) y [sustitución](/practice-problems/u-substitution) - **Idea principal:** Integra primero la variable interior, tratando la variable exterior como constante, y después integra otra vez - **Practica con números nuevos:** [Lección de integrales iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) ## Ideas clave - Trabaja de dentro hacia fuera. Los límites interiores pueden depender de la variable exterior, pero los límites exteriores deben ser números. - Si la integral interior no tiene antiderivada elemental, dibuja la región y cambia el orden. - Para discos y circunferencias, pasa a coordenadas polares y recuerda que $dA = r\,dr\,d\theta$. Estos **ejercicios de integrales dobles** empiezan con rectángulos y pasan a regiones generales, el cambio del orden de integración, las coordenadas polares, el volumen y el valor medio. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas. El planteamiento para una región entre dos curvas: $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\right)dx$$ Calcula primero la integral interior, tratando $x$ como una constante. Para saber más sobre regiones y orden, lee la [guía de integrales dobles](/blog/double-integrals). ## Ejercicios **Rectángulos** 1. $\displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx$ 2. $\displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA$, $R = [0, 2]\times[0, 1]$ 3. $\displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx$ **Regiones generales** 4. $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx$ 5. $\displaystyle\iint_R x\,dA$, donde $R$ es la región entre $y = x^2$ e $y = x$ 6. Halla el área entre $y = x^2$ e $y = 4$ con una integral doble. **Cambia el orden** 7. $\displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$ 8. $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx$ **Coordenadas polares** 9. $\displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA$, con $D$ el disco unidad 10. $\displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA$, con $D$ el disco $x^2 + y^2 \le 4$ 11. Halla el volumen bajo $z = 4 - x^2 - y^2$ y sobre el plano $xy$. **Valor medio** 12. Halla el valor medio de $f(x, y) = xy$ en el cuadrado $[0, 2]\times[0, 2]$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $4$ | | 3 | $1$ | | 4 | $\frac{1}{8}$ | | 5 | $\frac{1}{12}$ | | 6 | $\frac{32}{3}$ | | 7 | $\frac{e - 1}{2} \approx 0.859$ | | 8 | $\frac{1 - \cos 1}{2} \approx 0.230$ | | 9 | $\frac{\pi}{2}$ | | 10 | $\pi\left(1 - e^{-4}\right) \approx 3.084$ | | 11 | $8\pi$ | | 12 | $1$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Interior: $\int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}$. Exterior: $$\int_0^2\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = 2 + 1 = 3$$ **2.** En un rectángulo, un producto $g(x)h(y)$ se separa en dos integrales simples: $$\int_0^2 6x\,dx\cdot\int_0^1 y^2\,dy = 12\cdot\frac{1}{3} = 4$$ **3.** Separa de nuevo: $\int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. **4.** Interior: $\int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$. Exterior: $\int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}$. **5.** Las curvas se cortan en $x = 0$ y $x = 1$, con $y = x$ arriba: $$\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}x\,dy\,dx = \int_0^1 x(x - x^2)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **6.** Con $f = 1$, la integral doble es el área: $$\int_{-2}^{2}\!\int_{x^2}^{4}1\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \frac{32}{3}$$ **7.** $e^{x^2}$ no tiene antiderivada elemental, así que cambia el orden. La región es $0 \le y \le x \le 1$, un triángulo. En el otro orden, $x$ va de $0$ a $1$ e $y$ de $0$ a $x$: $$\int_0^1\!\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$$ **8.** La región es $0 \le x \le y \le 1$. Cambia el orden para que $y$ quede fuera: $$\int_0^1\!\int_0^y\sin(y^2)\,dx\,dy = \int_0^1 y\sin(y^2)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2}$$ **9.** En polares, $x^2 + y^2 = r^2$ y $dA = r\,dr\,d\theta$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$ **10.** Con $u = r^2$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\left(1 - e^{-4}\right) = \pi\left(1 - e^{-4}\right)$$ **11.** La superficie corta al plano donde $r = 2$. En polares: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2(4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi(8 - 4) = 8\pi$$ **12.** $\iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4$. El área del cuadrado es $4$, así que el valor medio es $\frac{4}{4} = 1$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Límites exteriores con variables.** Después de las dos integrales, la respuesta debe ser un número. Si sobra una $x$, los límites están en el orden equivocado. - **Cambiar el orden sin volver a dibujar.** En el ejercicio 7, intercambiar los signos de integral y mantener los límites es incorrecto. Dibuja la región y lee los nuevos límites en ella. - **Olvidar la $r$ en polares.** El ejercicio 9 sin la $r$ extra da $\frac{2\pi}{3}$ en lugar de $\frac{\pi}{2}$. - **Tratar la variable exterior como si cambiara.** En la integral interior del ejercicio 4, $x$ es una constante, así que $\int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}$. ## Sigue practicando Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de integrales iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals), la [lección de cambio de orden](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order), la [lección de regiones generales](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) y la [lección de integrales dobles en polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se sabe en qué orden integrar? En un rectángulo con funciones sencillas, cualquier orden sirve. Para otras regiones, elige el orden que dé límites más simples, o aquel en el que la integral interior se pueda calcular de verdad. Los ejercicios 7 y 8 solo se pueden hacer después de cambiar el orden. ### ¿Por qué aparece una r extra en las integrales dobles en polares? Una región polar pequeña es casi un rectángulo de lados $dr$ y $r\,d\theta$, así que su área es $r\,dr\,d\theta$. Olvidar la $r$ es el error más común en polares. ### ¿Qué representa una integral doble? Si $f \ge 0$, es el volumen bajo la superficie $z = f(x, y)$ sobre la región. Con $f = 1$, es el área de la región. Dividida entre el área, es el valor medio de $f$.