# Ejercicios de integrales impropias resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de integrales impropias con respuestas: límites infinitos, asíntotas verticales, convergencia o divergencia y criterio de comparación.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integrales-impropias
Actualizado: 2026-11-06

$$ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 6
- **Necesitas:** [Integrales definidas](/practice-problems/definite-integrals), límites al infinito e [integración por partes](/practice-problems/integration-by-parts)
- **Idea principal:** Sustituye el extremo problemático por una variable, integra y luego toma un límite
- **Practica con números nuevos:** [Lección de límites de integración infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration)

## Ideas clave

- Una integral es impropia si un límite de integración es infinito o si el integrando se dispara en algún punto de $[a, b]$, incluso dentro del intervalo.
- $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx$ converge cuando $p > 1$; $\int_0^{1}\frac{1}{x^p}\,dx$ converge cuando $p < 1$.
- Usa la comparación cuando no puedas integrar: menor que una integral convergente converge, mayor que una divergente diverge.

Estos **ejercicios de integrales impropias** cubren límites de integración infinitos, asíntotas verticales en un extremo y dentro del intervalo, y el criterio de comparación. En cada uno, decide si converge y, si lo hace, halla su valor. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.

La definición para un límite infinito:

$$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx$$

Para una asíntota en $x = a$, usa en su lugar $\lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx$. Para más ejemplos, lee la [guía de integrales impropias](/blog/improper-integrals).

## Ejercicios

**Límites infinitos**

1. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$
2. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx$
3. $\displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx$
4. $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx$
5. $\displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx$
6. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$

**Asíntotas verticales**

7. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$
8. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx$
9. $\displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx$
10. $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$
11. $\displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx$

**Comparación**

12. ¿Converge $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx$?

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | Converge a $1$ |
| 2 | Diverge |
| 3 | Converge a $2$ |
| 4 | Converge a $\frac{1}{2}$ |
| 5 | Converge a $1$ |
| 6 | Converge a $\pi$ |
| 7 | Converge a $2$ |
| 8 | Diverge |
| 9 | Converge a $-1$ |
| 10 | Diverge |
| 11 | Converge a $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$ |
| 12 | Converge, por comparación con $\frac{3}{x^2}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$

**2.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty$, así que diverge.

**3.** Una antiderivada de $x^{-3/2}$ es $-2x^{-1/2}$:

$$\lim_{b\to\infty}\left(2 - \frac{2}{\sqrt{b}}\right) = 2$$

Es una integral $p$ con $p = \frac{3}{2} > 1$, así que la convergencia era de esperar.

**4.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}$

**5.** Por partes, $\int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}$. Entonces:

$$\lim_{b\to\infty}\left(1 - (b + 1)e^{-b}\right) = 1$$

El término $(b + 1)e^{-b} \to 0$ porque la exponencial crece mucho más rápido que $b + 1$ (usa la regla de L'Hôpital si quieres comprobarlo).

**6.** Divide en $0$. Cada mitad es $\lim\arctan b = \frac{\pi}{2}$, así que el total es $\pi$. Ambas mitades deben converger para que converja la integral completa.

**7.** El integrando se dispara en $x = 0$:

$$\lim_{t\to 0^+}\big[2\sqrt{x}\big]_t^{1} = 2 - 0 = 2$$

**8.** $\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty$, así que diverge.

**9.** Una antiderivada es $x\ln x - x$. En $x = 1$ vale $-1$. Cuando $t \to 0^+$, $t\ln t \to 0$, así que:

$$-1 - \lim_{t\to 0^+}(t\ln t - t) = -1 - 0 = -1$$

**10.** La asíntota en $x = 0$ está dentro del intervalo, así que divide ahí. La mitad derecha es $\lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty$, así que toda la integral diverge. La respuesta tentadora $\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ es imposible, ya que el integrando es positivo.

**11.** La asíntota está en $x = 1$, dentro de $[0, 3]$. Una antiderivada es $3(x - 1)^{1/3}$, que es continua en $x = 1$:

$$\int_0^1 = 3(0) - 3(-1) = 3, \qquad \int_1^3 = 3\sqrt[3]{2} - 0 = 3\sqrt[3]{2}$$

Ambas mitades convergen, así que el total es $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$.

**12.** Como $-1 \le \cos x \le 1$, el integrando está entre $\frac{1}{x^2}$ y $\frac{3}{x^2}$. Y $\int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3$ converge. Una función positiva por debajo de una convergente también converge.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **No ver una asíntota dentro del intervalo.** Los ejercicios 10 y 11 parecen integrales definidas normales. Comprueba siempre dónde no está definido el integrando.
- **Tratar $\infty$ como un número.** Escribe el límite. Expresiones como $\frac{1}{\infty}$ esconden errores.
- **Comparar en la dirección equivocada.** Ser menor que una integral divergente no demuestra nada. Ser mayor que una convergente tampoco.
- **Dividir solo un lado.** En el ejercicio 6, ambas mitades deben converger por separado.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de límites infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration), la [lección de discontinuidades infinitas](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities) y la [lección del criterio de comparación](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test). La misma regla de $p$ vuelve a aparecer con las series en los [ejercicios de criterios de convergencia](/practice-problems/convergence-tests).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se sabe si una integral impropia converge?

Reescríbela como un límite y calcúlalo. Si el límite es un número finito, converge a ese número. Si el límite es infinito o no existe, diverge. Cuando no puedas integrar directamente, compárala con una integral $p$.

### ¿Por qué diverge la integral de 1/x de 1 a infinito?

Su antiderivada es $\ln x$, y $\ln b \to \infty$ cuando $b \to \infty$. El área sigue creciendo sin cota, aunque la curva se acerque al eje $x$. El ejercicio 2 lo muestra.

### ¿Por qué la integral de 1/x² de -1 a 1 no es -2?

Porque $\frac{1}{x^2}$ se dispara en $x = 0$, dentro del intervalo. Hay que dividir en $0$, y cada mitad diverge. Sustituir directamente los extremos ignora la asíntota. El ejercicio 10 lo muestra.