# Ejercicios resueltos de integrales trigonométricas con soluciones

> 12 ejercicios de integrales trigonométricas con respuestas: potencias de seno y coseno, tangente y secante, ángulo mitad y producto a suma.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-integrales-trigonometricas
Actualizado: 2026-11-06

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC
- **Necesitas:** La [integración por sustitución](/practice-problems/u-substitution) y las identidades pitagóricas
- **Idea principal:** Potencia impar: reserva un factor para $du$. Potencias pares: usa las identidades del ángulo mitad
- **Practica con números nuevos:** [Lección de integrales trigonométricas](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals)

## Ideas clave

- Si el seno o el coseno tiene potencia impar, reserva un factor para $du$ y convierte el resto en la otra función con $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Si las dos potencias son pares, redúcelas con las identidades del ángulo mitad.
- Para $\sec^n x$ con $n$ par, reserva $\sec^2 x$ para $du$ con $u = \tan x$. Para potencias impares de $\tan x$ por $\sec x$, reserva $\sec x\tan x$ con $u = \sec x$.

Estos **ejercicios de integrales trigonométricas** cubren potencias de seno y coseno, tangente y secante, y productos de ángulos distintos. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Las identidades que vas a usar:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

## Ejercicios

**Potencias pares: ángulo mitad**

1. $\displaystyle\int\sin^2 x\,dx$
2. $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx$
3. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx$

**Potencias impares: reserva un factor**

4. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx$
5. $\displaystyle\int\cos^3 x\,dx$
6. $\displaystyle\int\sin^3 x\,dx$
7. $\displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx$

**Tangente y secante**

8. $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx$
9. $\displaystyle\int\sec^4 x\,dx$
10. $\displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx$

**Ángulos distintos e integrales definidas**

11. $\displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| 2 | $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| 3 | $\dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin 4x}{32} + C$ |
| 4 | $\dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ |
| 5 | $\sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ |
| 6 | $-\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C$ |
| 7 | $-\dfrac{\cos^3 x}{3} + \dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ |
| 8 | $\tan x - x + C$ |
| 9 | $\tan x + \dfrac{\tan^3 x}{3} + C$ |
| 10 | $\dfrac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$ |
| 11 | $-\dfrac{\cos 4x}{8} - \dfrac{\cos 2x}{4} + C$ |
| 12 | $\dfrac{\pi}{2}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** Usa la identidad del ángulo mitad:

$$\int\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

Consulta la [integral de sen² x](/integrals/sin-squared-x) para saber más.

**2.** La misma idea con signo más:

$$\int\frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

**3.** Usa $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, así que $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$. Luego aplica la identidad del ángulo mitad con ángulo $2x$:

$$\frac{1}{4}\int\frac{1 - \cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

**4.** Sea $u = \sin x$, así que $du = \cos x\,dx$:

$$\int u^2\,du = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

**5.** Reserva un $\cos x$ y escribe $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Con $u = \sin x$:

$$\int(1 - u^2)\,du = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

**6.** Reserva un $\sin x$ y escribe $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Con $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$-\int(1 - u^2)\,du = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

**7.** El seno tiene la potencia impar, así que reserva un $\sin x$: $\sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x$. Con $u = \cos x$:

$$-\int(u^2 - u^4)\,du = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$$

**8.** Usa $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$$\int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**9.** Reserva $\sec^2 x$ para $du$ y escribe el otro $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$. Con $u = \tan x$:

$$\int(1 + u^2)\,du = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$$

**10.** Reserva $\sec x\tan x$ para $du$ con $u = \sec x$. Lo que sobra, $\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1$:

$$\int(u^2 - 1)\,du = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$$

**11.** Usa la identidad de producto a suma $\sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]$:

$$\frac{1}{2}\int(\sin 4x + \sin 2x)\,dx = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C$$

**12.** A partir del ejercicio 1:

$$\left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

Tiene sentido: en $[0, \pi]$, $\sin^2 x$ tiene valor medio $\frac{1}{2}$, y $\frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Usar sustitución con una potencia par.** $\int\sin^2 x\,dx$ no es $\frac{\sin^3 x}{3}$. No hay ningún factor $\cos x$ que forme $du$.
- **Confundir los signos del ángulo mitad.** $\sin^2$ lleva el signo menos y $\cos^2$ el signo más. Compruébalo con $x = 0$: $\sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}$.
- **Olvidar el factor de la regla de la cadena.** $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, no $\sin 2x$.
- **No reservar un factor.** En el ejercicio 6 hay que usar los tres senos: uno para $du$ y dos convertidos en coseno.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de integrales trigonométricas](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals). Consulta también la [integral de tan² x](/integrals/tan-squared-x) y la [integral de sec³ x](/integrals/sec-cubed-x). Cuando veas $\sqrt{a^2 - x^2}$ o $x^2 + a^2$, sigue con los [ejercicios de sustitución trigonométrica](/practice-problems/trig-substitution).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se integra seno al cuadrado de x?

Usa $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Entonces $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. El ejercicio 1 muestra los pasos.

### ¿Qué se hace cuando el seno y el coseno tienen potencias impares?

Cualquiera de las dos opciones funciona. Reserva un factor de la que tenga la potencia impar más pequeña para que el álgebra sea más corta.

### ¿Por qué las respuestas de integrales trigonométricas se ven distintas en cada libro?

Las identidades trigonométricas permiten escribir la misma función de muchas formas, y las respuestas pueden diferir en una constante. Deriva las dos formas o compáralas en un punto para comprobar que coinciden.