# Ejercicios resueltos de límites al infinito con soluciones

> 12 ejercicios de límites al infinito con respuestas y soluciones completas: funciones racionales, raíces cuadradas, exponenciales y asíntotas horizontales.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-limites-al-infinito
Actualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 1
- **Necesitas:** Saber que $\frac{1}{x^p}\to 0$ cuando $x\to\infty$ para $p > 0$
- **Idea principal:** Divide entre la mayor potencia de $x$ del denominador y deja que los términos pequeños tiendan a 0
- **Practica con números nuevos:** [Lección de límites al infinito](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity)

## Ideas clave

- En una función racional, compara los grados: si el denominador es mayor da $0$, si son iguales da el cociente de los coeficientes principales y si el numerador es mayor da $\pm\infty$.
- Con raíces cuadradas, recuerda que $\sqrt{x^2} = |x|$, que vale $-x$ cuando $x\to -\infty$. Ese cambio de signo cambia la respuesta.
- Una forma $\infty - \infty$ con raíz cuadrada suele necesitar el conjugado antes de poder ver el límite.

Estos **ejercicios de límites al infinito** empiezan con funciones racionales y siguen con raíces cuadradas, la forma $\infty - \infty$, exponenciales y asíntotas horizontales. Resuelve cada uno antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, seguidas de las soluciones completas.

El atajo para funciones racionales, donde $n$ es el grado del numerador y $m$ el del denominador:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \dfrac{\text{coef. principal del numerador}}{\text{coef. principal del denominador}} & n = m \\ \pm\infty & n > m \end{cases}$$

Para entender el razonamiento, lee la [guía de límites al infinito](/blog/limits-at-infinity).

## Ejercicios

**Funciones racionales**

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}$

**Raíces cuadradas**

5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$

**Trigonométricas y exponenciales**

8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$
9. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
10. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)$

**Asíntotas horizontales**

12. Halla todas las asíntotas horizontales de $f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{5}$ |
| 2 | $0$ |
| 3 | $\infty$ |
| 4 | $-\dfrac{1}{3}$ |
| 5 | $\dfrac{3}{2}$ |
| 6 | $-\dfrac{3}{2}$ |
| 7 | $3$ |
| 8 | $0$ |
| 9 | $2$ |
| 10 | $-3$ |
| 11 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 12 | $y = 5$ (cuando $x\to\infty$) e $y = -5$ (cuando $x\to -\infty$) |

## Soluciones paso a paso

**1.** Los grados coinciden, así que divide numerador y denominador entre $x^2$:

$$\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}} \;\to\; \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$$

**2.** El denominador tiene mayor grado. Divide entre $x^2$:

$$\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \;\to\; \frac{0}{1} = 0$$

**3.** El numerador tiene mayor grado. Divide entre $x^2$:

$$\frac{x - \frac{2}{x^2}}{4 + \frac{1}{x}}$$

El numerador crece sin límite mientras el denominador tiende a $4$, así que el límite es $\infty$.

**4.** De nuevo grados iguales. Divide entre $x^3$:

$$\frac{2 - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^3} - 6} \;\to\; \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$$

Aquí la dirección $-\infty$ no cambia la respuesta, porque todos los términos sobrantes siguen tendiendo a $0$.

**5.** Saca $x^2$ fuera de la raíz. Para $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$:

$$\frac{x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; \frac{3}{2}$$

**6.** La misma función, pero ahora $x < 0$, así que $\sqrt{x^2} = |x| = -x$:

$$\frac{-x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; -\frac{3}{2}$$

**7.** Es una forma $\infty - \infty$. Multiplica y divide por el conjugado:

$$\frac{(x^2 + 6x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$$

Divide numerador y denominador entre $x$:

$$\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1} \;\to\; \frac{6}{1 + 1} = 3$$

**8.** Usa el [teorema del sándwich](/theorems/squeeze-theorem). Como $-1 \le \sin x \le 1$, para $x > 0$:

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$

Las dos funciones exteriores tienden a $0$, así que el límite es $0$.

**9.** Cuando $x\to\infty$, $e^x$ es el término dominante. Divide entre $e^x$:

$$\frac{2 + 3e^{-x}}{1 - e^{-x}} \;\to\; \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$

**10.** Cuando $x\to -\infty$, $e^x\to 0$, así que basta con sustituir ese valor:

$$\frac{2(0) + 3}{0 - 1} = -3$$

**11.** Cuando $x\to\infty$, $x^2\to\infty$, y $\arctan u\to\frac{\pi}{2}$ cuando $u\to\infty$. Así que el límite es $\frac{\pi}{2}$.

**12.** Saca $\sqrt{x^2} = |x|$ fuera de la raíz: $\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$.

Cuando $x\to\infty$, $|x| = x$:

$$\frac{5x - 2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{5 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \;\to\; 5$$

Cuando $x\to -\infty$, $|x| = -x$, lo que cambia el signo y da $-5$. La gráfica tiene dos asíntotas horizontales: $y = 5$ a la derecha e $y = -5$ a la izquierda.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Escribir $\frac{\infty}{\infty} = 1$.** En el ejercicio 1 numerador y denominador crecen, pero la respuesta es $\frac{3}{5}$. Divide entre la mayor potencia para ver qué pasa realmente.
- **Olvidar que $\sqrt{x^2} = |x|$.** Los ejercicios 6 y 12 dan el signo equivocado si tratas $\sqrt{x^2}$ como $x$ cuando $x$ es negativo.
- **Escribir $\infty - \infty = 0$.** El ejercicio 7 parece que debería dar $0$, pero el conjugado muestra que el límite es $3$.
- **Suponer que ambas direcciones coinciden.** Los ejercicios 9 y 10 usan la misma función y dan $2$ y $-3$. Las exponenciales se comportan de forma muy distinta a cada lado.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la [lección de límites al infinito](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) y luego la [práctica mixta de límites](/learn/calculus-1/limits/limits-practice). Si un límite al infinito se convierte en $\frac{\infty}{\infty}$ con exponenciales y logaritmos mezclados, los [ejercicios de la regla de L'Hôpital](/practice-problems/lhopitals-rule) muestran el método más rápido.

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula un límite al infinito?

Divide cada término entre la mayor potencia de $x$ del denominador. Términos como $\frac{3}{x}$ y $\frac{1}{x^2}$ tienden a $0$, y lo que queda es el límite. En funciones racionales puedes ir directo a comparar los grados del numerador y del denominador.

### ¿Qué relación hay entre los límites al infinito y las asíntotas horizontales?

Si $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ o $\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$, la recta $y = L$ es una asíntota horizontal. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas, una a cada lado, como en el ejercicio 12.

### ¿Por qué el límite es distinto cuando x tiende a menos infinito?

Normalmente por una raíz cuadrada o una exponencial. $\sqrt{x^2} = |x|$ es igual a $-x$ para $x$ negativo, y $e^x\to 0$ cuando $x\to -\infty$ pero crece sin límite cuando $x\to\infty$. Los polinomios y las funciones racionales sin raíces suelen dar el mismo límite finito por ambos lados.