# Ejercicios de multiplicadores de Lagrange resueltos con respuestas > 12 ejercicios de multiplicadores de Lagrange con respuestas: máximos y mínimos sobre rectas y circunferencias, puntos más cercanos, tres variables y lambda. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-multiplicadores-de-lagrange Actualizado: 2026-11-06 $$ \nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 3 - **Necesitas:** [Derivadas parciales](/practice-problems/partial-derivatives) y resolver sistemas de ecuaciones - **Idea principal:** En un máximo o mínimo condicionado, el gradiente de $f$ es paralelo al gradiente de la restricción - **Practica con números nuevos:** [Lección de multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) ## Ideas clave - Escribe $\nabla f = \lambda\nabla g$ como una ecuación por variable y añade la propia restricción. - Resuelve eliminando $\lambda$: divide o compara ecuaciones para obtener una relación entre las variables. - Sustituye cada punto candidato en $f$. El valor más grande es el máximo y el más pequeño es el mínimo. Estos **ejercicios de multiplicadores de Lagrange** cubren problemas de dos variables sobre rectas y circunferencias, problemas de punto más cercano, problemas de tres variables y el significado de $\lambda$. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero y después las soluciones completas. El método para hallar los valores extremos de $f$ sujeta a $g = k$: $$\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k$$ Resuelve el sistema y compara $f$ en todas las soluciones. Para entender la geometría que hay detrás, lee la [guía de multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). ## Ejercicios **Restricción sobre una recta** 1. Maximiza $f(x, y) = xy$ sujeta a $x + y = 10$. 2. Minimiza $f(x, y) = x^2 + y^2$ sujeta a $x + y = 4$. 3. Halla el punto de la recta $2x + y = 5$ más cercano al origen. **Restricción sobre una circunferencia** 4. Halla el máximo y el mínimo de $f(x, y) = x + y$ sobre $x^2 + y^2 = 2$. 5. Halla el máximo y el mínimo de $f(x, y) = xy$ sobre $x^2 + y^2 = 8$. 6. Halla el máximo y el mínimo de $f(x, y) = x^2y$ sobre $x^2 + y^2 = 3$. 7. Halla el máximo y el mínimo de $f(x, y) = 2x + 3y$ sobre $x^2 + y^2 = 13$. **Tres variables y aplicaciones** 8. Maximiza $f(x, y, z) = xyz$ sujeta a $x + y + z = 12$, con $x, y, z > 0$. 9. Halla el punto del plano $x + 2y + 2z = 9$ más cercano al origen. 10. Una caja cerrada tiene volumen $8$. Halla las dimensiones con la menor área superficial. 11. Un rectángulo tiene perímetro $40$. Halla su mayor área posible. 12. En el ejercicio 1, halla $\lambda$. Úsalo para estimar el nuevo máximo si la restricción pasa a ser $x + y = 11$, y compáralo con el valor exacto. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | Máximo $25$ en $(5, 5)$ | | 2 | Mínimo $8$ en $(2, 2)$ | | 3 | $(2, 1)$, distancia $\sqrt{5}$ | | 4 | Máximo $2$ en $(1, 1)$, mínimo $-2$ en $(-1, -1)$ | | 5 | Máximo $4$ en $\pm(2, 2)$, mínimo $-4$ en $\pm(2, -2)$ | | 6 | Máximo $2$ en $(\pm\sqrt{2}, 1)$, mínimo $-2$ en $(\pm\sqrt{2}, -1)$ | | 7 | Máximo $13$ en $(2, 3)$, mínimo $-13$ en $(-2, -3)$ | | 8 | Máximo $64$ en $(4, 4, 4)$ | | 9 | $(1, 2, 2)$, distancia $3$ | | 10 | Un cubo de $2\times 2\times 2$, área superficial $24$ | | 11 | $100$, un cuadrado de $10\times 10$ | | 12 | $\lambda = 5$; estimación $30$, valor exacto $30.25$ | ## Soluciones paso a paso **1.** $\nabla f = \langle y, x\rangle$ y $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$. Así que $y = \lambda$ y $x = \lambda$, lo que da $x = y$. La restricción da $x = y = 5$ y $f = 25$. **2.** $\langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle$, así que $x = y = 2$ y $f = 8$. A lo largo de la recta, $x^2 + y^2$ crece sin cota, así que es un mínimo. **3.** Minimiza la distancia al cuadrado $x^2 + y^2$. Entonces $2x = 2\lambda$ y $2y = \lambda$, así que $x = 2y$. La restricción da $4y + y = 5$, así que $y = 1$ y $x = 2$. La distancia es $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. **4.** $\langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle$, así que $x = y$. Entonces $2x^2 = 2$, así que $x = \pm 1$. Compara: $f(1, 1) = 2$ y $f(-1, -1) = -2$. **5.** $y = 2\lambda x$ y $x = 2\lambda y$. Multiplica: $xy = 4\lambda^2 xy$. Si $xy \neq 0$, entonces $\lambda = \pm\frac{1}{2}$ y $x^2 = y^2$. La restricción da $x^2 = 4$. Los puntos $(2, 2)$ y $(-2, -2)$ dan $4$; $(2, -2)$ y $(-2, 2)$ dan $-4$. Si $xy = 0$ entonces $f = 0$, que no es ni máximo ni mínimo. **6.** $2xy = 2\lambda x$ y $x^2 = 2\lambda y$. Si $x \neq 0$, la primera da $\lambda = y$, y la segunda da $x^2 = 2y^2$. La restricción queda $3y^2 = 3$, así que $y = \pm 1$ y $x = \pm\sqrt{2}$. Entonces $f = x^2y = 2y$, que vale $2$ o $-2$. El caso $x = 0$ da $f = 0$. **7.** $2 = 2\lambda x$ y $3 = 2\lambda y$, así que $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ e $y = \frac{3}{2}x$. La restricción da $x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13$, así que $x^2 = 4$ y $x = \pm 2$. Los puntos $(2, 3)$ y $(-2, -3)$ dan $13$ y $-13$. **8.** $yz = \lambda$, $xz = \lambda$ y $xy = \lambda$. Comparándolas se obtiene $x = y = z$, así que cada una vale $4$ y $f = 64$. **9.** Minimiza $x^2 + y^2 + z^2$. Entonces $\langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle$, así que $(x, y, z) = t(1, 2, 2)$. La restricción da $t + 4t + 4t = 9$, así que $t = 1$. El punto es $(1, 2, 2)$ y la distancia es $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. **10.** Minimiza $S = 2(xy + yz + xz)$ sujeta a $xyz = 8$. Las ecuaciones $2(y + z) = \lambda yz$, $2(x + z) = \lambda xz$ y $2(x + y) = \lambda xy$ dan $x = y = z$. Entonces $x^3 = 8$, así que la caja es un cubo de $2\times 2\times 2$ con $S = 24$. **11.** Maximiza $xy$ sujeta a $2x + 2y = 40$. Entonces $y = 2\lambda$ y $x = 2\lambda$, así que $x = y = 10$ y el área es $100$. **12.** En el ejercicio 1, $\lambda = x = 5$. Pasar la restricción de $10$ a $11$ debería aumentar el máximo en aproximadamente $5$, hasta $30$. El máximo exacto para $x + y = 11$ es $5.5^2 = 30.25$. Muy cerca. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Dividir entre una variable que podría ser $0$.** En los ejercicios 5 y 6, revisa por separado los casos $x = 0$ o $y = 0$. - **Olvidar la ecuación de la restricción.** $\nabla f = \lambda\nabla g$ por sí sola tiene demasiadas incógnitas. La restricción es la ecuación que falta. - **Quedarse en un solo punto.** Sobre una circunferencia hay un máximo y un mínimo. Halla todas las soluciones y compara. - **Minimizar la distancia con raíz cuadrada.** Minimiza en su lugar la distancia al cuadrado. Tiene el mismo punto mínimo y derivadas más sencillas. ## Sigue practicando Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) y la [lección de puntos críticos y criterio de la segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test). Para practicar con los gradientes que necesitan estos ejercicios, consulta los [ejercicios de derivadas parciales](/practice-problems/partial-derivatives). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se resuelven las ecuaciones de Lagrange? Escribe cada componente de $\nabla f = \lambda\nabla g$, despeja $\lambda$ en cada una e iguala los resultados. Eso da una relación como $x = y$ o $x^2 = 2y^2$. Sustitúyela en la restricción. Ten cuidado con los casos en que una variable vale $0$, porque dividir entre ella haría perder soluciones. ### ¿Cómo se sabe si un punto es un máximo o un mínimo? Sobre una restricción cerrada y acotada, como una circunferencia, sustituye todos los candidatos en $f$ y compara. Sobre una restricción no acotada, como una recta, piensa qué pasa lejos: en el ejercicio 2, $x^2 + y^2$ crece sin cota a lo largo de la recta, así que el único candidato es un mínimo. ### ¿Qué significa lambda? Es la tasa a la que cambia el valor óptimo cuando cambia el valor $k$ de la restricción. Si $\lambda = 5$, aumentar $k$ en $1$ aumenta el mejor valor de $f$ en aproximadamente $5$. El ejercicio 12 lo comprueba.