# Ejercicios resueltos de optimización con derivadas y soluciones > 10 problemas de optimización con derivadas, con respuestas y soluciones completas: vallas, cajas, latas, puntos más cercanos, ingresos y la ruta más rápida. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-optimizacion Actualizado: 2026-11-06 $$ f'(x) = 0 \;\text{ o no existe} \;\Rightarrow\; \text{evalúa los puntos críticos y los extremos} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 10 problemas de enunciado, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 5 - **Necesitas:** Puntos críticos, el criterio de la segunda derivada y fórmulas básicas de áreas y volúmenes - **Idea principal:** Escribe la magnitud a optimizar como función de una sola variable, iguala su derivada a 0 y confirma si es máximo o mínimo - **Practica con números nuevos:** [Lección de optimización](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) ## Ideas clave - Usa la restricción para escribir la magnitud que buscas en función de una sola variable antes de derivar. - Indica siempre el dominio. En un intervalo cerrado, compara los puntos críticos con los extremos. - Confirma que la respuesta es un máximo o un mínimo con el criterio de la segunda derivada o una tabla de signos, y luego responde a lo que se pregunta. Estos **ejercicios de optimización** piden el mayor o el menor valor de algo real: un área, un volumen, una distancia, un coste o un tiempo. Plantea cada uno por tu cuenta antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas. Todos los problemas siguen los mismos pasos: 1. Haz un dibujo y nombra las variables. 2. Escribe la magnitud a optimizar (la función objetivo). 3. Usa la restricción para escribirla en función de una sola variable y halla el dominio. 4. Iguala la derivada a $0$ y resuelve. 5. Confirma que es un máximo o un mínimo y responde a la pregunta con unidades. Para saber más sobre el método, lee la [guía de problemas de optimización](/blog/optimization-problems). ## Ejercicios **Números** 1. Dos números positivos suman $20$. ¿Cuál es el mayor producto posible? 2. Dos números positivos tienen producto $16$. ¿Cuál es la menor suma posible? **Vallas y cajas** 3. **Valla junto al río.** Un granjero tiene $240$ m de valla para hacer un corral rectangular junto a un río recto. No hace falta valla a lo largo del río. ¿Qué dimensiones dan el área máxima? 4. **Caja sin tapa.** Se hace una caja sin tapa con una lámina de cartón de $12$ in por $12$ in (pulgadas), recortando cuadrados iguales en cada esquina y doblando los lados hacia arriba. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados para que el volumen sea máximo? 5. **Caja de base cuadrada.** Una caja sin tapa de base cuadrada debe tener una capacidad de $32{,}000$ cm³. ¿Qué dimensiones usan la menor cantidad de material? 6. **Lata de sopa.** Una lata cilíndrica cerrada debe tener una capacidad de $500$ cm³. ¿Qué radio y qué altura usan la menor cantidad de metal? **Geometría y distancia** 7. **Rectángulo en un semicírculo.** Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio $10$, con la base sobre el diámetro. ¿Cuál es el área máxima posible? 8. **Punto más cercano.** ¿Qué punto de la curva $y = \sqrt{x}$ está más cerca del punto $(3, 0)$? **Economía y movimiento** 9. **Precio de la entrada.** A un precio de $p$ dólares, un teatro vende $600 - 20p$ entradas. ¿Qué precio da el máximo ingreso? 10. **Bote de remos.** Estás en un bote a $3$ km de una costa recta. Quieres llegar a un pueblo de la costa que está a $8$ km del punto más cercano. Remas a $2$ km/h y caminas a $4$ km/h. ¿Dónde debes desembarcar para llegar lo antes posible? ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $10$ y $10$, producto $100$ | | 2 | $4$ y $4$, suma $8$ | | 3 | $60$ m por $120$ m (el lado largo junto al río), área $7200$ m² | | 4 | Cuadrados de $2$ in, volumen $128$ in³ | | 5 | Base de $40$ cm por $40$ cm, altura $20$ cm, $4800$ cm² de material | | 6 | $r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4.30$ cm, $h = 2r \approx 8.60$ cm | | 7 | $100$ (ancho $10\sqrt{2}$, alto $5\sqrt{2}$) | | 8 | $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) \approx (2.5, 1.58)$, distancia $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$ | | 9 | $p = 15$ dólares, ingreso $4500$ dólares | | 10 | Desembarca a $\sqrt{3} \approx 1.73$ km por la costa, tiempo total $\approx 3.30$ h | ## Soluciones paso a paso **1.** Sean los números $x$ y $20 - x$, con $0 < x < 20$. Maximiza $P = x(20 - x) = 20x - x^2$: $$P' = 20 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10$$ $P'' = -2 < 0$, así que es un máximo. Los números son $10$ y $10$, y el producto es $100$. **2.** Sean los números $x$ y $\frac{16}{x}$, con $x > 0$. Minimiza $S = x + \frac{16}{x}$: $$S' = 1 - \frac{16}{x^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$ $S'' = \frac{32}{x^3} > 0$, así que es un mínimo. Los números son $4$ y $4$, y la suma es $8$. **3.** Sea $x$ cada lado perpendicular al río. El lado paralelo al río mide $240 - 2x$, con $0 < x < 120$. Maximiza $$A = x(240 - 2x) = 240x - 2x^2, \qquad A' = 240 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 60$$ $A'' = -4 < 0$, así que es un máximo. El corral mide $60$ m por $120$ m, con un área de $7200$ m². **4.** Sea $x$ el lado de cada cuadrado. La base mide $12 - 2x$ de lado y la altura es $x$, con $0 < x < 6$: $$V = x(12 - 2x)^2$$ Usa la regla del producto y factoriza: $$V' = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$$ $V' = 0$ en $x = 6$ (un extremo, donde $V = 0$) y en $x = 2$. Como $V$ vale $0$ en ambos extremos y es positivo entre ellos, $x = 2$ da el máximo: $V = 2\cdot 8^2 = 128$ in³. **5.** Sea la base de $x$ por $x$ y la altura $h$. La restricción es $x^2h = 32000$, así que $h = \frac{32000}{x^2}$. El material es la base más las cuatro caras laterales: $$S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128000}{x}, \qquad S' = 2x - \frac{128000}{x^2} = 0$$ Así que $x^3 = 64000$ y $x = 40$. Entonces $h = \frac{32000}{1600} = 20$. Como $S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0$, es un mínimo, y $S = 1600 + 3200 = 4800$ cm². **6.** Una lata cerrada tiene dos círculos y una superficie lateral: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. La restricción $\pi r^2h = 500$ da $h = \frac{500}{\pi r^2}$: $$S = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S' = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{250}{\pi}$$ Así que $r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30$ cm. $S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$, así que es un mínimo. Entonces $h = \frac{500}{\pi r^2}$. Como $\pi r^3 = 250$, esto es $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60$ cm. La mejor lata es tan alta como ancha. **7.** Coloca el centro del semicírculo en el origen. Una esquina del rectángulo está en $(x, y)$ sobre la curva $y = \sqrt{100 - x^2}$. El ancho es $2x$: $$A = 2x\sqrt{100 - x^2}, \qquad 0 \le x \le 10$$ $$A' = 2\sqrt{100 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{2(100 - 2x^2)}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 50$$ Así que $x = 5\sqrt{2}$ e $y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. El área es $2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100$. En los extremos $A = 0$, así que es el máximo. **8.** Un punto de la curva es $(x, \sqrt{x})$. Minimiza el cuadrado de la distancia, que tiene el mínimo en el mismo lugar y es más fácil de derivar: $$D^2 = (x - 3)^2 + x, \qquad \frac{d}{dx}D^2 = 2(x - 3) + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}$$ La segunda derivada es $2 > 0$, así que es un mínimo. El punto es $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ y la distancia es $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$. **9.** El ingreso es el precio por las entradas vendidas, con $0 \le p \le 30$: $$R = p(600 - 20p) = 600p - 20p^2, \qquad R' = 600 - 40p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = 15$$ $R'' = -40 < 0$, así que es un máximo. Se venden $300$ entradas y $R = 4500$ dólares. **10.** Desembarca a $x$ km del punto más cercano, con $0 \le x \le 8$. La distancia remando es $\sqrt{9 + x^2}$ y la distancia caminando es $8 - x$. El tiempo es la distancia entre la velocidad: $$T = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} + \frac{8 - x}{4}, \qquad T' = \frac{x}{2\sqrt{9 + x^2}} - \frac{1}{4} = 0$$ Así que $2x = \sqrt{9 + x^2}$, lo que da $4x^2 = 9 + x^2$ y $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Compara con los extremos: | Punto de desembarco | Tiempo | | --- | --- | | $x = 0$ | $1.5 + 2 = 3.5$ h | | $x = \sqrt{3}$ | $2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 3.30$ h | | $x = 8$ | $\frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27$ h | Desembarcar a $\sqrt{3}$ km por la costa es lo más rápido. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Derivar con dos variables.** En el ejercicio 5, usa el volumen para sustituir $h$ antes de derivar. - **Olvidar los extremos.** En un intervalo cerrado como en el ejercicio 10, la mejor respuesta podría estar en un extremo. Compara siempre. - **Responder a otra pregunta.** El ejercicio 4 pide el tamaño de los cuadrados, así que la respuesta es $2$ in, no solo el volumen. - **Olvidar que el lado del río no lleva valla.** En el ejercicio 3 solo hay tres lados de valla: $2x + y = 240$. ## Sigue practicando Estos 10 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la [lección de optimización](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) y la [lección de extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema). Para ver por qué funciona el método de los puntos críticos, lee sobre el [teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) y el [Teorema del Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem), o practica cómo hallar extremos con los [ejercicios de representación de funciones](/practice-problems/curve-sketching). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se resuelven los problemas de optimización en cálculo? Haz un dibujo y nombra las variables. Escribe la magnitud que hay que maximizar o minimizar y usa la restricción para dejarla en una sola variable. Halla el dominio, iguala la derivada a cero, evalúa los puntos críticos y los extremos, y responde con palabras y unidades. ### ¿Qué es la restricción en un problema de optimización? Es la condición fija, como "240 m de valla" o "volumen de 500 cm³". Da una ecuación que permite despejar una variable en función de la otra, así la función objetivo pasa a depender de una sola variable. ### ¿Cómo sé si encontré un máximo o un mínimo? Usa el criterio de la segunda derivada: $f''(c) < 0$ indica un máximo local y $f''(c) > 0$ un mínimo local. Si solo hay un punto crítico en un intervalo, ese máximo o mínimo local también es absoluto. En un intervalo cerrado también puedes comparar directamente los valores en los puntos críticos y en los extremos.