# Ejercicios resueltos de curvas paramétricas y coordenadas polares

> 12 ejercicios de paramétricas y polares con respuestas: dy/dx, rectas tangentes, longitud de arco, cambio de coordenadas, pendientes y áreas en polares.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-parametricas-y-polares
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 9
- **Necesitas:** La [regla de la cadena](/rules/chain-rule), valores trigonométricos e [integrales trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals)
- **Idea principal:** Paramétricas: divide las derivadas respecto de $t$. Polares: usa $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$
- **Practica con números nuevos:** [Lección de áreas en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area)

## Ideas clave

- En curvas paramétricas, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, y $\frac{d^2y}{dx^2}$ es la derivada respecto de $t$ de $\frac{dy}{dx}$ dividida otra vez entre $\frac{dx}{dt}$.
- Cambia de coordenadas con $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ y $r^2 = x^2 + y^2$.
- El área en polares es $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$. Elige límites que recorran la región exactamente una vez.

Estos **ejercicios de paramétricas y polares** cubren pendientes, rectas tangentes, segundas derivadas y longitud de arco de curvas paramétricas, y luego cambio de coordenadas, pendientes y áreas en coordenadas polares. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

Las fórmulas clave:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad L = \int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$$

## Ejercicios

**Curvas paramétricas**

1. Para $x = t^2$, $y = t^3$, halla $\frac{dy}{dx}$ y su valor en $t = 2$.
2. Halla la recta tangente a la curva del ejercicio 1 en $t = 2$.
3. Elimina el parámetro: $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$.
4. Para $x = t^2$, $y = t^3$, halla $\frac{d^2y}{dx^2}$.
5. Halla los puntos donde $x = t^2 - 1$, $y = t^3 - 3t$ tiene tangente horizontal.
6. Halla la longitud de arco de $x = t^2$, $y = \frac{2}{3}t^3$ para $0 \le t \le 1$.

**Coordenadas polares**

7. Pasa el punto polar $(r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ a coordenadas cartesianas.
8. Pasa $r = 4\sin\theta$ a ecuación cartesiana y describe la curva.
9. Halla la pendiente $\frac{dy}{dx}$ de $r = 1 + \cos\theta$ en $\theta = \frac{\pi}{2}$.

**Áreas en polares**

10. Halla el área encerrada por $r = 2\cos\theta$.
11. Halla el área de un pétalo de $r = \cos(2\theta)$.
12. Halla el área encerrada por la cardioide $r = 1 + \cos\theta$.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$; en $t = 2$, pendiente $3$ |
| 2 | $y = 3x - 4$ |
| 3 | $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ |
| 4 | $\frac{3}{4t}$ |
| 5 | $(0, -2)$ y $(0, 2)$ |
| 6 | $\frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 1.219$ |
| 7 | $\left(2, 2\sqrt{3}\right)$ |
| 8 | $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, una circunferencia |
| 9 | $1$ |
| 10 | $\pi$ |
| 11 | $\frac{\pi}{8}$ |
| 12 | $\frac{3\pi}{2}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ y $\frac{dy}{dt} = 3t^2$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \qquad \text{en } t = 2: \ 3$$

**2.** En $t = 2$ el punto es $(4, 8)$ y la pendiente es $3$: $y - 8 = 3(x - 4)$, así que $y = 3x - 4$.

**3.** $\cos t = \frac{x}{2}$ y $\sin t = \frac{y}{3}$. Usa $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$:

$$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$

Es una elipse.

**4.** Deriva $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ respecto de $t$ para obtener $\frac{3}{2}$, y luego divide entre $\frac{dx}{dt} = 2t$:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$$

**5.** $\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0$ en $t = \pm 1$, y ahí $\frac{dx}{dt} = 2t \neq 0$. En $t = 1$: $(0, -2)$. En $t = -1$: $(0, 2)$.

**6.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ y $\frac{dy}{dt} = 2t^2$, así que la rapidez es $\sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2}$ para $t \ge 0$. Con $u = 1 + t^2$:

$$\int_0^1 2t\sqrt{1 + t^2}\,dt = \left[\frac{2}{3}(1 + t^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$$

**7.** $x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2$ e $y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$.

**8.** Multiplica ambos lados por $r$: $r^2 = 4r\sin\theta$, así que $x^2 + y^2 = 4y$. Completa el cuadrado:

$$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$

Una circunferencia de radio $2$ con centro en $(0, 2)$.

**9.** Usa $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ con $r' = -\sin\theta$. En $\theta = \frac{\pi}{2}$: $r = 1$ y $r' = -1$.

$$\frac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta = -1, \qquad \frac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta = -1$$

Así que $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1$.

**10.** La circunferencia se recorre una vez para $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$:

$$\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi$$

Coincide con el área de un círculo de radio $1$.

**11.** Un pétalo va de $\theta = -\frac{\pi}{4}$ a $\frac{\pi}{4}$, donde $\cos 2\theta \ge 0$. Usa $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$:

$$\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$

**12.** Desarrolla $(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$. En $[0, 2\pi]$, estos términos integran $2\pi$, $0$ y $\pi$:

$$\frac{1}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Dividir segundas derivadas.** En el ejercicio 4, $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t$ es incorrecto.
- **Usar $\frac{dr}{d\theta}$ como pendiente.** En el ejercicio 9, $r' = -1$ pero la pendiente de la curva es $1$.
- **Límites que recorren la curva dos veces.** $r = 2\cos\theta$ en $[0, 2\pi]$ da dos vueltas y da $2\pi$.
- **Olvidar el $\frac{1}{2}$.** El área en polares es $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$, no $\int r\,d\theta$.

## Sigue practicando

Para practicar sin límite con corrección al instante, prueba la [lección de curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves), la [lección de longitud de arco paramétrica](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length), la [lección de pendientes en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) y la [lección de áreas en polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se calcula la segunda derivada de una curva paramétrica?

Deriva $\frac{dy}{dx}$ respecto de $t$ y luego divide entre $\frac{dx}{dt}$. No es $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. El ejercicio 4 muestra los pasos.

### ¿Por qué el área en polares es un medio de r al cuadrado?

Una rebanada fina de una región polar es casi un sector circular de radio $r$ y ángulo $d\theta$. Un sector tiene área $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$, y al integrar se suman las rebanadas.

### ¿Dónde tiene una curva paramétrica tangente horizontal?

Donde $\frac{dy}{dt} = 0$ y $\frac{dx}{dt} \neq 0$. Hay tangente vertical donde $\frac{dx}{dt} = 0$ y $\frac{dy}{dt} \neq 0$. Si ambas son cero, hay que estudiarlo más a fondo.