# Ejercicios resueltos de razones de cambio relacionadas > 10 problemas de razones de cambio relacionadas con respuestas y soluciones completas: globos, escaleras, conos, sombras, coches y ángulos, bien planteados. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-razones-de-cambio-relacionadas Actualizado: 2026-11-06 $$ x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 10 problemas de enunciado, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 4 - **Necesitas:** [Derivación implícita](/practice-problems/implicit-differentiation) y fórmulas básicas de geometría - **Idea principal:** Escribe una ecuación que relacione las magnitudes, derívala respecto de t y luego sustituye los números - **Practica con números nuevos:** [Lección de razones de cambio relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) ## Ideas clave - Deriva primero la ecuación y sustituye después los números de ese instante. Sustituir demasiado pronto convierte una magnitud que cambia en una constante. - Da signo a las tasas: una magnitud que disminuye tiene una tasa negativa. - En conos y sombras, usa triángulos semejantes para eliminar la variable sobrante antes de derivar. Cada uno de estos **ejercicios de razones de cambio relacionadas** (también llamadas tasas relacionadas) describe una situación en la que dos o más magnitudes cambian a la vez. Sabes lo rápido que cambia una y necesitas la tasa de otra. Haz cada planteamiento antes de comprobarlo. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas. Todos los problemas siguen los mismos cinco pasos: 1. Haz un dibujo y nombra las magnitudes que cambian. 2. Escribe la tasa conocida y la que buscas, con unidades y signos. 3. Escribe una ecuación que relacione las magnitudes. 4. Deriva los dos lados respecto de $t$. 5. Sustituye los valores del instante dado y despeja. Para saber más sobre el método, lee la [guía de razones de cambio relacionadas](/blog/related-rates). ## Ejercicios **Fórmulas geométricas** 1. **Onda en el agua.** Una piedra cae en un estanque y forma una onda circular. El radio crece a $3$ cm/s. ¿A qué velocidad crece el área dentro de la onda cuando el radio mide $10$ cm? 2. **Globo.** Se bombea aire en un globo esférico a $100$ cm³/s. ¿A qué velocidad aumenta el radio cuando mide $5$ cm? 3. **Cubo que crece.** Las aristas de un cubo crecen a $0.5$ cm/s. ¿A qué velocidad crece el volumen cuando cada arista mide $4$ cm? **Triángulos rectángulos** 4. **Escalera que resbala.** Una escalera de $10$ ft (pies) está apoyada en una pared. Se tira del pie de la escalera alejándolo de la pared a $2$ ft/s. ¿A qué velocidad baja el extremo superior por la pared cuando el pie está a $6$ ft de la pared? 5. **Ángulo de la escalera.** En el ejercicio 4, ¿a qué velocidad cambia el ángulo entre la escalera y el suelo en ese mismo instante? 6. **Dos coches.** El coche A sale de un cruce hacia el norte a $60$ mph (millas por hora). Al mismo tiempo, el coche B sale hacia el este a $45$ mph. ¿A qué velocidad crece la distancia entre ellos al cabo de $2$ horas? 7. **Globo y observador.** Un globo aerostático sube en vertical a $4$ m/s. Un observador está a $300$ m del punto de despegue. ¿A qué velocidad cambia el ángulo de elevación del observador al globo cuando el globo está a $400$ m de altura? **Triángulos semejantes y curvas** 8. **Llenar un cono.** Un depósito de agua tiene forma de cono con el vértice hacia abajo. Mide $12$ ft de alto y $4$ ft de radio en la parte superior. Entra agua a $9$ ft³/min. ¿A qué velocidad sube el nivel del agua cuando la profundidad es de $6$ ft? 9. **Sombra.** Una persona de $6$ ft de altura se aleja de una farola de $15$ ft a $5$ ft/s. ¿A qué velocidad crece la longitud de su sombra? 10. **Punto en movimiento.** Un punto se mueve por la curva $y = x^2$ de modo que su coordenada $x$ aumenta a $3$ unidades/s. ¿A qué velocidad cambia su distancia al origen cuando el punto está en $(2, 4)$? ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $60\pi \approx 188.5$ cm²/s | | 2 | $\dfrac{1}{\pi} \approx 0.318$ cm/s | | 3 | $24$ cm³/s | | 4 | El extremo superior baja a $1.5$ ft/s ($\frac{dy}{dt} = -1.5$) | | 5 | $-\dfrac{1}{4}$ rad/s (el ángulo disminuye a $0.25$ rad/s) | | 6 | $75$ mph | | 7 | $0.0048$ rad/s | | 8 | $\dfrac{9}{4\pi} \approx 0.716$ ft/min | | 9 | $\dfrac{10}{3} \approx 3.33$ ft/s | | 10 | $\dfrac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07$ unidades/s | ## Soluciones paso a paso **1.** Dato: $\frac{dr}{dt} = 3$. Incógnita: $\frac{dA}{dt}$ cuando $r = 10$. El área del círculo es $A = \pi r^2$. Deriva respecto de $t$: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi \approx 188.5 \text{ cm}^2/\text{s}$$ **2.** Dato: $\frac{dV}{dt} = 100$. Incógnita: $\frac{dr}{dt}$ cuando $r = 5$. El volumen es $V = \frac{4}{3}\pi r^3$: $$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad 100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}$$ **3.** Dato: $\frac{ds}{dt} = 0.5$. Incógnita: $\frac{dV}{dt}$ cuando $s = 4$. El volumen es $V = s^3$: $$\frac{dV}{dt} = 3s^2\frac{ds}{dt} = 3(16)(0.5) = 24 \text{ cm}^3/\text{s}$$ **4.** Sea $x$ la distancia de la pared al pie de la escalera e $y$ la altura del extremo superior. Dato: $\frac{dx}{dt} = 2$. Incógnita: $\frac{dy}{dt}$ cuando $x = 6$. La longitud de la escalera es fija: $$x^2 + y^2 = 100$$ Cuando $x = 6$, $y = \sqrt{100 - 36} = 8$. Deriva: $$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{8}(2) = -1.5 \text{ ft/s}$$ El signo menos significa que el extremo superior baja. **5.** Sea $\theta$ el ángulo en el suelo. Entonces $\cos\theta = \frac{x}{10}$. Deriva: $$-\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{10}\frac{dx}{dt}$$ En ese instante $\sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}$, así que $$-\frac{8}{10}\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{4} \text{ rad/s}$$ El ángulo se hace más pequeño a medida que la escalera resbala. **6.** Sea $y$ la distancia del coche A hacia el norte, $x$ la del coche B hacia el este y $z$ la distancia entre ellos. Al cabo de $2$ horas, $y = 120$, $x = 90$ y $z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150$. A partir de $x^2 + y^2 = z^2$: $$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{90(45) + 120(60)}{150} = \frac{11250}{150} = 75 \text{ mph}$$ **7.** Sea $h$ la altura y $\theta$ el ángulo de elevación. Dato: $\frac{dh}{dt} = 4$. El observador está a $300$ m, así que $\tan\theta = \frac{h}{300}$. Deriva: $$\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{300}\frac{dh}{dt}$$ Cuando $h = 400$, la línea de visión mide $\sqrt{300^2 + 400^2} = 500$ m, así que $\cos\theta = \frac{3}{5}$ y $\sec^2\theta = \frac{25}{9}$: $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{9}{25}\cdot\frac{4}{300} = 0.0048 \text{ rad/s}$$ **8.** Sea $h$ la profundidad del agua y $r$ el radio de la superficie del agua. Dato: $\frac{dV}{dt} = 9$. Incógnita: $\frac{dh}{dt}$ cuando $h = 6$. Por triángulos semejantes, $\frac{r}{h} = \frac{4}{12}$, así que $r = \frac{h}{3}$. Sustituye en el volumen del cono para eliminar $r$: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$$ Deriva y sustituye $h = 6$: $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad 9 = \frac{36\pi}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{9}{4\pi} \approx 0.716 \text{ ft/min}$$ **9.** Sea $x$ la distancia de la persona a la farola y $s$ la longitud de la sombra. Dato: $\frac{dx}{dt} = 5$. La farola, la persona y el extremo de la sombra forman dos triángulos semejantes: $$\frac{15}{x + s} = \frac{6}{s} \quad\Rightarrow\quad 15s = 6x + 6s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{2}{3}x$$ Deriva: $$\frac{ds}{dt} = \frac{2}{3}\cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ ft/s}$$ La respuesta no depende de dónde esté la persona. El extremo de la sombra se mueve a $5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3}$ ft/s. **10.** Sea $D$ la distancia al origen. Como $y = x^2$: $$D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x^4$$ Deriva respecto de $t$: $$2D\frac{dD}{dt} = (2x + 4x^3)\frac{dx}{dt}$$ En $(2, 4)$, $D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$, y $\frac{dx}{dt} = 3$: $$\frac{dD}{dt} = \frac{(4 + 32)(3)}{2\sqrt{20}} = \frac{108}{2\sqrt{20}} = \frac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 \text{ unidades/s}$$ ## Errores comunes en estos ejercicios - **Sustituir los números demasiado pronto.** En el ejercicio 4, escribir $36 + y^2 = 100$ antes de derivar convierte $x$ en una constante y la tasa desaparece. - **Ignorar el signo.** En el ejercicio 4 la respuesta es negativa. Decir "el extremo superior se mueve a 1,5 ft/s" está bien, pero debes saber en qué dirección. - **Mantener $r$ y $h$ en el cono.** En el ejercicio 8, usa triángulos semejantes para escribir $r$ en función de $h$ antes de derivar. - **Usar grados.** En los ejercicios 5 y 7 las tasas salen en radianes por segundo, porque las derivadas trigonométricas solo funcionan en radianes. ## Sigue practicando Estos 10 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante en cada paso, prueba la [lección de razones de cambio relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) y luego la [práctica mixta de aplicaciones](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice). El otro gran tipo de problema de enunciado es la optimización: practícalo con los [ejercicios de optimización](/practice-problems/optimization). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cómo se resuelven los problemas de razones de cambio relacionadas? Haz un dibujo y nombra todas las magnitudes que cambian. Escribe la tasa que conoces y la que buscas. Busca una ecuación que relacione las magnitudes, deriva los dos lados respecto del tiempo $t$, y luego sustituye los valores del instante en cuestión y despeja. ### ¿Por qué no se pueden sustituir los números antes de derivar? Porque los números solo valen en un instante. Si cambias una magnitud variable por un número antes de derivar, su derivada pasa a ser $0$ y pierdes la tasa. Solo las magnitudes fijas, como la longitud de una escalera, pueden sustituirse antes. ### ¿Por qué la respuesta del problema de la escalera es negativa? El extremo superior de la escalera baja, así que su altura $y$ disminuye y $\frac{dy}{dt} < 0$. En palabras, la respuesta es "baja a 1,5 ft/s", y el signo negativo es lo que indica la dirección.