# Ejercicios de la regla de la cadena resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de la regla de la cadena con respuestas y soluciones paso a paso, desde (3x+1)⁵ hasta funciones anidadas como sin²(4x) y e^(cos x).

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-regla-de-la-cadena
Actualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 3
- **Necesitas:** La [regla de la potencia](/rules/power-rule) y las derivadas básicas trigonométricas, exponenciales y logarítmicas
- **Idea principal:** Deriva la función de fuera, conserva la de dentro y multiplica por la derivada de la de dentro
- **Practica con números nuevos:** [Lecciones de la regla de la cadena](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers)

## Ideas clave

- Llama $u$ a la función de dentro y escribe la derivada como (derivada de fuera evaluada en $u$) por $u'$.
- Con funciones anidadas, trabaja de fuera hacia dentro y multiplica una derivada por cada capa.
- El error más común es olvidar la derivada de dentro, así que comprueba que cada capa aportó un factor.

Estos **ejercicios de la regla de la cadena** empiezan con una sola capa y avanzan hasta funciones anidadas y combinaciones con las reglas del producto y del cociente. Intenta cada uno antes de leer la solución. Las respuestas aparecen primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La regla que necesitas:

$$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$

Deriva la función de fuera, deja intacta la de dentro y multiplica por la derivada de la de dentro. Para repasar, lee primero la página de la [regla de la cadena](/rules/chain-rule).

## Ejercicios

**Una capa**

1. $y = (3x + 1)^5$
2. $y = \sqrt{x^2 + 9}$
3. $y = \sin(4x)$
4. $y = e^{x^2}$
5. $y = \ln(x^3 + 2x)$
6. $y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}$

**Dos o más capas**

7. $y = \sin^2(4x)$
8. $y = e^{\cos x}$
9. $y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)$

**Con la regla del producto o del cociente**

10. $y = x^2 \sin(3x)$
11. $y = x\,e^{-2x}$
12. $y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $15(3x + 1)^4$ |
| 2 | $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ |
| 3 | $4\cos(4x)$ |
| 4 | $2x\,e^{x^2}$ |
| 5 | $\dfrac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$ |
| 6 | $-\dfrac{6}{(2x - 5)^4}$ |
| 7 | $8\sin(4x)\cos(4x) = 4\sin(8x)$ |
| 8 | $-\sin x\,e^{\cos x}$ |
| 9 | $\dfrac{\sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$ |
| 10 | $2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$ |
| 11 | $(1 - 2x)\,e^{-2x}$ |
| 12 | $\dfrac{2(x+1)^3(x - 1)}{x^3}$ |

## Soluciones paso a paso

**1.** La función de dentro es $u = 3x + 1$, con $u' = 3$. La de fuera es $u^5$, con derivada $5u^4$:

$$y' = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$

**2.** Escribe $y = (x^2 + 9)^{1/2}$. La derivada de dentro es $2x$:

$$y' = \frac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$

**3.** La función de fuera es $\sin u$, cuya derivada es $\cos u$, y $u' = 4$:

$$y' = \cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x)$$

**4.** La derivada de $e^u$ es $e^u \cdot u'$, y $u = x^2$:

$$y' = e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$

**5.** La derivada de $\ln u$ es $\frac{u'}{u}$ (consulta la [derivada de ln x](/derivatives/ln-x)):

$$y' = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$

**6.** Reescribe como $y = (2x - 5)^{-3}$ y usa la regla de la potencia en la función de fuera:

$$y' = -3(2x - 5)^{-4}\cdot 2 = -\frac{6}{(2x-5)^4}$$

**7.** Hay tres capas: un cuadrado, un seno y $4x$. Trabaja de fuera hacia dentro:

$$y' = 2\sin(4x)\cdot\cos(4x)\cdot 4 = 8\sin(4x)\cos(4x)$$

Con la identidad del ángulo doble $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$, esto es $4\sin(8x)$.

**8.** La función de fuera es $e^u$ con $u = \cos x$ y $u' = -\sin x$:

$$y' = e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}$$

**9.** La función de fuera es $\tan u$, con derivada $\sec^2 u$, y $u = \sqrt{x}$ tiene $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$:

$$y' = \sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

**10.** Usa la [regla del producto](/rules/product-rule), con la regla de la cadena para $\sin(3x)$:

$$y' = 2x\sin(3x) + x^2\cdot 3\cos(3x)$$

**11.** De nuevo la regla del producto. La derivada de $e^{-2x}$ es $-2e^{-2x}$:

$$y' = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2e^{-2x}) = (1 - 2x)e^{-2x}$$

**12.** Usa la [regla del cociente](/rules/quotient-rule), con la regla de la cadena en el numerador:

$$y' = \frac{4(x+1)^3\cdot x^2 - (x+1)^4\cdot 2x}{x^4}$$

Saca factor común $2x(x+1)^3$ en el numerador: $2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1)$. Simplifica una $x$:

$$y' = \frac{2(x+1)^3(x-1)}{x^3}$$

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Olvidar la derivada de dentro.** En el ejercicio 3, $\cos(4x)$ a secas es incorrecto. El factor $4$ es justamente la clave de la regla de la cadena.
- **Cambiar la función de dentro.** La derivada de $\sin(4x)$ es $4\cos(4x)$, no $4\cos(4)$ ni $\cos(4)$. La parte de dentro se queda exactamente como estaba.
- **Saltarse una capa.** El ejercicio 7 tiene tres capas, así que la respuesta tiene tres factores. Cuéntalos antes de terminar.
- **Desarrollar demasiado pronto.** En el ejercicio 1, desarrollar $(3x+1)^5$ primero es posible, pero lento y propenso a errores. La regla de la cadena lo resuelve en una línea.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante en cada paso, prueba las [lecciones de la regla de la cadena](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) y después la [práctica mixta de la regla de la cadena](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general). Para la teoría con más ejemplos, lee la [guía de la regla de la cadena](/blog/chain-rule).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se sabe cuándo usar la regla de la cadena?

Úsala siempre que una función esté dentro de otra, como $(x^2+1)^5$, $\sin(3x)$ o $e^{x^2}$. Si al sustituir la parte de dentro por una simple $x$ obtienes una función que ya sabes derivar, se aplica la regla de la cadena.

### ¿Cómo se comprueba una respuesta de la regla de la cadena?

Cuenta las capas y asegúrate de que cada una produjo un factor. También puedes comprobar un valor: elige un número para $x$, estima la pendiente con un paso pequeño como $\frac{f(x+0.001)-f(x)}{0.001}$ y compárala con tu fórmula.

### ¿Se puede combinar la regla de la cadena con la regla del producto?

Sí, y es muy frecuente. En $x^2\sin(3x)$ usas la regla del producto para el producto y la regla de la cadena para derivar $\sin(3x)$. Los ejercicios 10 y 11 de abajo lo muestran.