# Ejercicios resueltos de la regla de la potencia con soluciones > 12 ejercicios de la regla de la potencia con respuestas y soluciones paso a paso: polinomios, exponentes negativos y fraccionarios, raíces y rectas tangentes. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-regla-de-la-potencia Actualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 2 - **Necesitas:** Las propiedades de los exponentes, sobre todo $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ y $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ - **Idea principal:** Reescribe como potencia de x, baja el exponente y luego réstale 1 - **Practica con números nuevos:** [Lecciones de la regla de la potencia](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) ## Ideas clave - Reescribe raíces y fracciones como potencias de $x$ antes de derivar. - Restarle 1 a un exponente negativo lo hace más negativo: $x^{-2}$ se convierte en $-2x^{-3}$. - Primero desarrolla los productos y separa los cocientes con un solo término en el denominador. Así la regla de la potencia se encarga de cada término por separado. Estos **ejercicios de la regla de la potencia** empiezan con potencias sueltas y polinomios, y luego pasan a exponentes negativos y fraccionarios, a reescribir antes de derivar y a rectas tangentes. Intenta resolver cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas. La regla: $$\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}$$ En casi todos los ejercicios también usarás la [regla de la suma y la resta](/rules/sum-and-difference-rule) y la [regla del múltiplo constante](/rules/constant-multiple-rule). Si necesitas un repaso, lee la página de la [regla de la potencia](/rules/power-rule). ## Ejercicios **Potencias y polinomios** 1. $y = x^7$ 2. $y = 4x^5$ 3. $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9$ **Exponentes negativos y fraccionarios** 4. $y = \dfrac{1}{x^3}$ 5. $y = 6\sqrt{x}$ 6. $y = \sqrt[3]{x^2}$ 7. $y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ **Reescribe primero** 8. $y = (2x + 1)(x - 3)$ 9. $y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}$ 10. $y = x^\pi + \pi^2$ **Rectas tangentes** 11. Halla la recta tangente a $y = x^3 - 2x$ en $x = 2$. 12. Halla los puntos donde $y = x^3 - 3x^2$ tiene recta tangente horizontal. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $7x^6$ | | 2 | $20x^4$ | | 3 | $12x^3 - 6x^2 + 5$ | | 4 | $-\dfrac{3}{x^4}$ | | 5 | $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ | | 6 | $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{x^{3/2}}$ | | 8 | $4x - 5$ | | 9 | $2x - \dfrac{4}{x^3}$ | | 10 | $\pi x^{\pi - 1}$ | | 11 | $y = 10x - 16$ | | 12 | $(0, 0)$ y $(2, -4)$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Baja el $7$ y réstale $1$ al exponente: $$y' = 7x^6$$ **2.** La constante $4$ simplemente se mantiene: $$y' = 4\cdot 5x^4 = 20x^4$$ **3.** Deriva término a término. La derivada de $5x$ es $5$ y la derivada de la constante $-9$ es $0$: $$y' = 12x^3 - 6x^2 + 5$$ **4.** Reescribe como $y = x^{-3}$. Entonces $-3 - 1 = -4$: $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$ **5.** Reescribe como $y = 6x^{1/2}$: $$y' = 6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$$ **6.** Reescribe como $y = x^{2/3}$. Entonces $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$: $$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ **7.** Reescribe ambos términos como potencias: $y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}$. $$y' = -10x^{-3} - 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{10}{x^3} + \frac{1}{x^{3/2}}$$ **8.** Primero desarrolla: $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. $$y' = 4x - 5$$ La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Desarrollar evita esa trampa, o también puedes usar la [regla del producto](/rules/product-rule). **9.** El denominador es un solo término, así que separa la fracción: $$y = x^2 - 3 + 2x^{-2} \quad\Rightarrow\quad y' = 2x - 4x^{-3} = 2x - \frac{4}{x^3}$$ **10.** $\pi$ es un exponente constante, así que la regla de la potencia se aplica a $x^\pi$. El término $\pi^2 \approx 9.87$ es solo un número, así que su derivada es $0$: $$y' = \pi x^{\pi - 1}$$ **11.** El punto es $y(2) = 8 - 4 = 4$. La pendiente es $y' = 3x^2 - 2$, así que $y'(2) = 10$: $$y - 4 = 10(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = 10x - 16$$ **12.** Una tangente horizontal tiene pendiente $0$: $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \text{ o } x = 2$$ Los puntos son $(0, 0)$ y $(2, 8 - 12) = (2, -4)$. ## Errores comunes en estos ejercicios - **Ir en la dirección equivocada con exponentes negativos.** En el ejercicio 4, $x^{-3}$ se convierte en $-3x^{-4}$, no en $-3x^{-2}$. Restar 1 siempre te mueve hacia la izquierda en la recta numérica. - **Derivar una raíz sin reescribirla.** Escribe $\sqrt[3]{x^2}$ como $x^{2/3}$ antes de empezar. - **Derivar un producto factor por factor.** En el ejercicio 8, $(2)(1) = 2$ es incorrecto. Desarrolla o usa la regla del producto. - **Tratar $\pi^2$ como una variable.** En el ejercicio 10, $\pi^2$ es una constante, así que su derivada es $0$, no $2\pi$. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la [lección de la regla de la potencia](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) y luego la [práctica de la regla de la potencia](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule-practice). Para ver más ejemplos y el razonamiento detrás de la regla, lee la [guía de la regla de la potencia](/blog/power-rule). Después, prueba los [ejercicios de la regla del producto y del cociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules). ## Preguntas frecuentes ### ¿Qué es la regla de la potencia para derivadas? Para cualquier número real $n$, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Bajas el exponente como coeficiente y luego le restas uno al exponente. Funciona con exponentes enteros, negativos y fraccionarios. ### ¿Cómo se usa la regla de la potencia con raíces cuadradas? Reescribe la raíz como una potencia fraccionaria, por ejemplo $\sqrt{x} = x^{1/2}$ y $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Luego aplica la regla: $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. ### ¿Sirve la regla de la potencia para e elevado a x? No. La regla de la potencia es para una base variable y un exponente constante, como $x^3$. En $e^x$ la variable está en el exponente, así que se usa $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Para una constante como $\pi^2$, la derivada es $0$.