# Ejercicios de la regla de L'Hôpital resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de la regla de L'Hôpital con respuestas y soluciones completas, con las formas 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ y exponenciales como 1^∞ y 0^0.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-regla-de-lhopital
Actualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 4
- **Necesitas:** Las reglas básicas de derivación y los [límites al infinito](/practice-problems/limits-at-infinity)
- **Idea principal:** Comprueba que sea 0/0 o ∞/∞, y luego deriva el numerador y el denominador por separado
- **Practica con números nuevos:** [Lección de la regla de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule)

## Ideas clave

- Usa la regla solo con $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. Comprueba la forma cada vez, también antes de aplicarla una segunda vez.
- Deriva el numerador y el denominador por separado. No uses la regla del cociente.
- Reescribe primero $0\cdot\infty$ e $\infty-\infty$ como una sola fracción, y resuelve $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ tomando el logaritmo natural.

Estos **ejercicios de la regla de L'Hôpital** cubren las siete indeterminaciones: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ e $\infty^0$. El último ejercicio es una trampa en la que la regla no se aplica. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

La regla:

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad\text{si el primer límite es } \tfrac{0}{0} \text{ o } \tfrac{\infty}{\infty}$$

Para el enunciado completo y por qué funciona, consulta la [página de la regla de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule).

## Ejercicios

**Formas 0/0**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$

**Formas ∞/∞**

4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

**Productos y diferencias**

6. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$

**Formas exponenciales**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$
10. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

**Comprueba antes de empezar**

12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}$

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $2$ |
| 2 | $1$ |
| 3 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 4 | $0$ |
| 5 | $0$ |
| 6 | $0$ |
| 7 | $1$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 9 | $1$ |
| 10 | $1$ |
| 11 | $e^3$ |
| 12 | $3$ (L'Hôpital no se aplica) |

## Soluciones paso a paso

**1.** La sustitución da $\frac{0}{0}$. Deriva numerador y denominador:

$$\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$$

**2.** La sustitución da $\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$:

$$\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1} = 1$$

**3.** Cada aplicación sigue dando $\frac{0}{0}$, así que aplica la regla tres veces:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**4.** Es $\frac{\infty}{\infty}$. Dos aplicaciones:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x} = 0$$

Las exponenciales ganan a cualquier potencia de $x$.

**5.** De nuevo $\frac{\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$

Los logaritmos pierden frente a cualquier potencia positiva de $x$.

**6.** Es $0\cdot(-\infty)$. Pasa $x$ al denominador como $\frac{1}{x}$ para obtener $\frac{-\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$$

**7.** Es $\infty\cdot 0$. Reescribe como $\frac{\sin(1/x)}{1/x}$, que es $\frac{0}{0}$. Sea $t = \frac{1}{x}$, así que $t\to 0^+$:

$$\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{\cos t}{1} = 1$$

**8.** Es $\infty - \infty$. Combina en una sola fracción:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$

Eso es $\frac{0}{0}$. Deriva, y sigue siendo $\frac{0}{0}$, así que deriva otra vez:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2e^x + xe^x} = \frac{1}{2}$$

**9.** Es $0^0$. Llama $L$ al límite y toma logaritmos. El ejercicio 6 ya calculó este límite:

$$\ln L = \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad L = e^0 = 1$$

**10.** Es $\infty^0$. Toma logaritmos:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad L = 1$$

**11.** Es $1^\infty$. Toma logaritmos y escribe el producto como una fracción $\frac{0}{0}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1 + \frac{3}{x}\right)}{1/x}$$

Deriva el numerador, $\frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right)$, y el denominador, $-\frac{1}{x^2}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{3}{1 + \frac{3}{x}} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = e^3$$

**12.** Sustituye primero: $\frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$. Es un número real, así que el límite es $3$ y has terminado. Usar L'Hôpital aquí daría $\frac{2x}{1}\to 0$, que es incorrecto, porque la regla solo funciona con indeterminaciones.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Usar la regla del cociente.** L'Hôpital significa $\frac{f'}{g'}$, no $\left(\frac{f}{g}\right)'$. Deriva el numerador y el denominador cada uno por su lado.
- **Saltarse la comprobación.** El ejercicio 12 muestra lo que pasa: la regla da una respuesta incorrecta cuando la forma no es indeterminada.
- **Olvidar deshacer el logaritmo.** En los ejercicios 9 a 11 hallas primero $\ln L$. La respuesta del ejercicio 11 es $e^3$, no $3$.
- **Aplicar la regla directamente a un producto.** En el ejercicio 6 debes reescribir $x\ln x$ como fracción antes de derivar.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con límites nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la [lección de la regla de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule). Para más ejemplos resueltos y el razonamiento detrás de cada indeterminación, lee la [guía de la regla de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule). Para repasar primero los métodos algebraicos, vuelve a los [ejercicios de cálculo de límites](/practice-problems/evaluating-limits).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cuándo se puede usar la regla de L'Hôpital?

Solo cuando la sustitución directa da $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, y el numerador y el denominador son derivables cerca del punto. Las demás indeterminaciones hay que reescribirlas primero en una de estas dos formas.

### ¿Se puede usar la regla de L'Hôpital más de una vez?

Sí, siempre que el nuevo límite siga siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. El ejercicio 3 de abajo necesita tres aplicaciones. Comprueba la forma antes de cada una, porque en cuanto deja de ser indeterminada debes sustituir.

### ¿Cómo se usa la regla de L'Hôpital con 1 elevado a infinito?

Llama $L$ al límite y toma el logaritmo natural: $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. Eso convierte la potencia en un producto, que reescribes como fracción y resuelves con L'Hôpital. Después $L = e^{\ln L}$. El ejercicio 11 lo muestra y da $e^3$.