# Ejercicios resueltos de la regla del producto y del cociente > 12 ejercicios de la regla del producto y la regla del cociente con respuestas y soluciones paso a paso, con un producto triple y un ejercicio con tabla. Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-regla-del-producto-y-cociente Actualizado: 2026-11-06 $$ (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ ## De un vistazo - **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas - **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 2 - **Necesitas:** La [regla de la potencia](/practice-problems/power-rule) y las derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$ y $\cos x$ - **Idea principal:** Producto: la derivada del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo. Cociente: derivada del numerador por el denominador menos numerador por derivada del denominador, entre el denominador al cuadrado - **Practica con números nuevos:** [Lección de la regla del producto](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) ## Ideas clave - En la regla del cociente el orden importa: primero va $f'g$ y luego se resta $fg'$. Si los intercambias, la respuesta cambia de signo. - Simplifica el numerador de una respuesta con la regla del cociente sacando factor común, como $e^x$ o una potencia de $x$. - Con tres factores, deriva un factor cada vez y suma los tres términos. Estos **ejercicios de la regla del producto y del cociente** empiezan con productos de dos factores, siguen con cocientes y terminan con un producto triple, un producto dentro de un cociente y un ejercicio a partir de una tabla de valores. Intenta cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas. Las dos reglas: $$(fg)' = f'g + fg' \qquad\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ Si necesitas un repaso, consulta las páginas de la [regla del producto](/rules/product-rule) y la [regla del cociente](/rules/quotient-rule), o la [guía de las reglas del producto y del cociente](/blog/product-and-quotient-rules). ## Ejercicios **Regla del producto** 1. $y = x^2 e^x$ 2. $y = (x^2 + 1)(3x - 2)$ 3. $y = \sqrt{x}\,\ln x$ 4. $y = e^x\cos x$ **Regla del cociente** 5. $y = \dfrac{x}{x + 1}$ 6. $y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$ 7. $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 8. $y = \dfrac{\ln x}{x}$ 9. $y = \dfrac{e^x}{x^2}$ **Combinando las dos** 10. $y = x\,e^x\sin x$ 11. $y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}$ 12. Si $f(2) = 3$, $f'(2) = -1$, $g(2) = 4$ y $g'(2) = 5$, halla $(fg)'(2)$ y $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(2)$. ## Respuestas | Ejercicio | Respuesta | | --- | --- | | 1 | $(x^2 + 2x)\,e^x$ | | 2 | $9x^2 - 4x + 3$ | | 3 | $\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$ | | 4 | $e^x(\cos x - \sin x)$ | | 5 | $\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ | | 6 | $\dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$ | | 7 | $\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ | | 8 | $\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ | | 9 | $\dfrac{e^x(x - 2)}{x^3}$ | | 10 | $e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$ | | 11 | $\dfrac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$ | | 12 | $(fg)'(2) = 11$, $\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = -\dfrac{19}{16}$ | ## Soluciones paso a paso **1.** Sean $f = x^2$ y $g = e^x$, así que $f' = 2x$ y $g' = e^x$: $$y' = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (x^2 + 2x)\,e^x$$ **2.** Sean $f = x^2 + 1$ y $g = 3x - 2$: $$y' = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$ Puedes comprobarlo desarrollando primero: $y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ da la misma derivada. **3.** Sean $f = \sqrt{x}$ y $g = \ln x$, así que $f' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ y $g' = \frac{1}{x}$: $$y' = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$$ Aquí $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}$. **4.** La derivada de $\cos x$ es $-\sin x$: $$y' = e^x\cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$$ **5.** Numerador $x$, denominador $x + 1$, y las dos derivadas valen $1$: $$y' = \frac{1\cdot(x + 1) - x\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$$ **6.** Derivada del numerador $2$, derivada del denominador $2x$: $$y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$$ **7.** Derivada del numerador $\cos x$, derivada del denominador $1$: $$y' = \frac{x\cos x - \sin x\cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$ **8.** Derivada del numerador $\frac{1}{x}$, derivada del denominador $1$: $$y' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ **9.** Derivada del numerador $e^x$, derivada del denominador $2x$: $$y' = \frac{e^x x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{x e^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$$ **10.** Tres factores, así que tres términos. Deriva $x$, luego $e^x$ y luego $\sin x$, uno cada vez: $$y' = 1\cdot e^x\sin x + x\cdot e^x\sin x + x e^x\cdot\cos x = e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$$ **11.** El numerador es un producto. Por el ejercicio 1, su derivada es $(x^2 + 2x)e^x$. Ahora usa la regla del cociente: $$y' = \frac{(x^2 + 2x)e^x(x + 1) - x^2e^x\cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Saca $e^x$ factor común en el numerador y desarrolla: $(x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2)$. Así que $$y' = \frac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$$ **12.** Sustituye los valores en cada regla: $$(fg)'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(5) = 11$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{(-1)(4) - (3)(5)}{16} = -\frac{19}{16}$$ ## Errores comunes en estos ejercicios - **Multiplicar las derivadas.** $(x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x$. La regla del producto siempre da dos términos. - **Restar en el orden equivocado.** En el ejercicio 6, escribir $(2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3)$ en el numerador da el tamaño correcto pero el signo equivocado. - **Olvidar elevar al cuadrado el denominador.** El denominador de la regla del cociente es $g^2$, no $g$. - **Desarrollar cuando es más fácil factorizar.** En el ejercicio 9, saca $xe^x$ factor común en el numerador para poder simplificar una $x$. ## Sigue practicando Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de la regla del producto](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) y la [lección de la regla del cociente](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule). Cuando los propios factores lleven algo dentro, como $x^2\sin(3x)$, sigue con los [ejercicios de la regla de la cadena](/practice-problems/chain-rule). ## Preguntas frecuentes ### ¿Cuándo se usa la regla del producto y cuándo la del cociente? Usa la regla del producto cuando dos funciones se multiplican, como $x^2e^x$, y la regla del cociente cuando una se divide entre otra, como $\frac{\sin x}{x}$. Si el denominador es una sola potencia de $x$, muchas veces puedes reescribir y usar la regla de la potencia. ### ¿Cómo se recuerda la regla del cociente? Piensa "la derivada de arriba por lo de abajo, menos lo de arriba por la derivada de abajo, entre lo de abajo al cuadrado". Abajo es el denominador $g$, arriba es el numerador $f$: $\frac{g f' - f g'}{g^2}$. ### ¿Cuál es la regla del producto para tres funciones? $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Deriva un factor cada vez, deja los otros dos igual y suma los tres resultados. El ejercicio 10 la usa.