# Ejercicios de representación de funciones resueltos con respuestas

> 12 ejercicios de representación gráfica con respuestas y soluciones: puntos críticos, crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad y asíntotas.

Fuente: https://practicecalculus.com/es/ejercicios-resueltos/ejercicios-representacion-de-funciones
Actualizado: 2026-11-06

$$ f'(x) > 0 \Rightarrow \text{creciente}, \qquad f''(x) > 0 \Rightarrow \text{cóncava hacia arriba} $$

## De un vistazo

- **Ejercicios:** 12, con respuestas y soluciones completas
- **Nivel:** Cálculo 1 y AP Calculus AB, unidad 5
- **Necesitas:** Las reglas de derivación y los [límites al infinito](/practice-problems/limits-at-infinity) para las asíntotas
- **Idea principal:** El signo de f' te dice dónde f sube o baja. El signo de f'' te dice hacia dónde se curva
- **Practica con números nuevos:** [Lección de crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing)

## Ideas clave

- Los puntos críticos son aquellos donde $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no está definida. Son los únicos lugares donde puede haber un máximo o un mínimo local.
- Un punto crítico es un extremo solo si $f'$ cambia de signo en él. Si $f'$ mantiene el mismo signo, como en $x = 0$ en el ejercicio 5, no lo es.
- Un punto de inflexión necesita que $f''$ cambie de signo en un punto donde $f$ esté definida. Un cambio de signo a través de una asíntota no cuenta.

Estos **ejercicios de representación gráfica de funciones** recorren todo lo que necesitas para dibujar una gráfica a partir de sus derivadas: puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos locales, concavidad, puntos de inflexión y asíntotas. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Lo que te dice cada derivada:

| Signo | Significado |
| --- | --- |
| $f'(x) > 0$ | $f$ es creciente |
| $f'(x) < 0$ | $f$ es decreciente |
| $f''(x) > 0$ | $f$ es cóncava hacia arriba (se curva como una taza) |
| $f''(x) < 0$ | $f$ es cóncava hacia abajo (se curva como un gorro) |

Para un recorrido completo, lee la [guía de representación de funciones](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Ejercicios

**Una función, paso a paso: $f(x) = x^3 - 3x^2$**

1. Halla los puntos críticos.
2. Halla dónde $f$ es creciente y decreciente.
3. Halla el máximo y el mínimo locales.
4. Halla los intervalos de concavidad y el punto de inflexión.

**Puntos críticos que no son extremos**

5. Halla los extremos locales de $f(x) = x^4 - 4x^3$.
6. Halla los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de $f(x) = x^4 - 4x^3$.

**Exponenciales y funciones racionales**

7. Para $f(x) = xe^{-x}$, halla los extremos locales, el punto de inflexión y la asíntota horizontal.
8. Para $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$, halla los extremos locales y la asíntota horizontal.
9. Para $f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 - 4}$, halla las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos locales y la concavidad.

**Criterios y casos especiales**

10. Usa el criterio de la segunda derivada para clasificar los puntos críticos de $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x$.
11. Una función cumple $f'(x) = (x - 1)^2(x + 2)$. ¿Dónde tiene $f$ extremos locales?
12. Halla y clasifica el punto crítico de $f(x) = x^{2/3}$, y describe su concavidad.

## Respuestas

| Ejercicio | Respuesta |
| --- | --- |
| 1 | $x = 0$ y $x = 2$ |
| 2 | Creciente en $(-\infty, 0)$ y $(2, \infty)$, decreciente en $(0, 2)$ |
| 3 | Máximo local $(0, 0)$, mínimo local $(2, -4)$ |
| 4 | Cóncava hacia abajo en $(-\infty, 1)$, hacia arriba en $(1, \infty)$, punto de inflexión $(1, -2)$ |
| 5 | Solo mínimo local $(3, -27)$. $x = 0$ no es un extremo |
| 6 | Hacia arriba en $(-\infty, 0)$, hacia abajo en $(0, 2)$, hacia arriba en $(2, \infty)$. Puntos de inflexión $(0, 0)$ y $(2, -16)$ |
| 7 | Máximo local $\left(1, \frac{1}{e}\right)$, punto de inflexión $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$, asíntota $y = 0$ cuando $x\to\infty$ |
| 8 | Mínimo local $\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$, máximo local $\left(1, \frac{1}{2}\right)$, asíntota $y = 0$ |
| 9 | Ver la solución 9 |
| 10 | Máximo local $(-2, 20)$, mínimo local $(1, -7)$ |
| 11 | Solo mínimo local en $x = -2$ |
| 12 | Mínimo local en $(0, 0)$ (un punto anguloso tipo cúspide), cóncava hacia abajo a ambos lados |

## Soluciones paso a paso

**1.** Deriva e iguala a cero:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0,\; x = 2$$

**2.** Prueba un número en cada intervalo:

| Intervalo | Valor de prueba | Signo de $f'$ | $f$ es |
| --- | --- | --- | --- |
| $(-\infty, 0)$ | $f'(-1) = 9$ | $+$ | creciente |
| $(0, 2)$ | $f'(1) = -3$ | $-$ | decreciente |
| $(2, \infty)$ | $f'(3) = 9$ | $+$ | creciente |

**3.** En $x = 0$, $f'$ pasa de $+$ a $-$, así que hay un máximo local: $f(0) = 0$. En $x = 2$, $f'$ pasa de $-$ a $+$, así que hay un mínimo local: $f(2) = 8 - 12 = -4$.

**4.** La segunda derivada es $f''(x) = 6x - 6$, que vale $0$ en $x = 1$. Es negativa para $x < 1$ y positiva para $x > 1$, así que la concavidad cambia. El punto de inflexión es $(1, f(1)) = (1, -2)$.

```graph
title: 'Gráfica de f(x) = x³ − 3x²'
caption: 'El máximo local en $(0, 0)$ y el mínimo local en $(2, -4)$ salen de los cambios de signo de $f''$. La curvatura cambia en el punto de inflexión $(1, -2)$.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-6, 3]
functions:
  - expr: x^3 - 3x^2
    label: y = x³ − 3x²
points:
  - [0, 0, 'máximo local']
  - [2, -4, 'mínimo local']
  - [1, -2, 'inflexión']
```

**5.** Deriva y factoriza:

$$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)$$

Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 3$. Como $4x^2 \ge 0$, el signo de $f'$ es el signo de $x - 3$: negativo a ambos lados de $0$ y positivo después de $3$. Así que $f$ decrece al pasar por $x = 0$ sin dar la vuelta, y $x = 0$ no es un extremo. En $x = 3$ el signo pasa de $-$ a $+$, lo que da un mínimo local $f(3) = 81 - 108 = -27$.

**6.** La segunda derivada es

$$f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$$

Es positiva en $(-\infty, 0)$, negativa en $(0, 2)$ y positiva en $(2, \infty)$. Cambia de signo en ambos ceros, así que los puntos de inflexión son $(0, 0)$ y $(2, 16 - 32) = (2, -16)$.

**7.** Usa la regla del producto:

$$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1 - x)e^{-x}$$

Como $e^{-x} > 0$, $f'$ tiene el signo de $1 - x$: positiva antes de $1$ y negativa después. Así que hay un máximo local en $\left(1, \frac{1}{e}\right)$. Deriva otra vez:

$$f''(x) = -e^{-x} - (1 - x)e^{-x} = (x - 2)e^{-x}$$

Esta cambia de signo en $x = 2$, así que el punto de inflexión es $\left(2, \frac{2}{e^2}\right)$. Cuando $x\to\infty$, $xe^{-x} = \frac{x}{e^x}\to 0$, así que $y = 0$ es una asíntota horizontal por la derecha.

**8.** Usa la regla del cociente:

$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

El denominador siempre es positivo, así que el signo viene de $1 - x^2$: negativo para $x < -1$, positivo en $(-1, 1)$ y negativo para $x > 1$. Eso da un mínimo local $f(-1) = -\frac{1}{2}$ y un máximo local $f(1) = \frac{1}{2}$. El grado del denominador es mayor, así que $y = 0$ es la asíntota horizontal.

**9.** **Asíntotas.** El denominador $x^2 - 4$ se anula en $x = \pm 2$ y el numerador no, así que hay asíntotas verticales en $x = -2$ y $x = 2$. Los grados coinciden, así que la asíntota horizontal es $y = 1$.

**Crecimiento y decrecimiento.** Usa la regla del cociente:

$$f'(x) = \frac{2x(x^2 - 4) - x^2\cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2}$$

El denominador es positivo, así que $f' > 0$ para $x < 0$ y $f' < 0$ para $x > 0$. $f$ es creciente en $(-\infty, -2)$ y $(-2, 0)$, y decreciente en $(0, 2)$ y $(2, \infty)$. Hay un máximo local en $(0, 0)$.

**Concavidad.** Derivando otra vez y simplificando se obtiene

$$f''(x) = \frac{24x^2 + 32}{(x^2 - 4)^3}$$

El numerador siempre es positivo, así que el signo viene de $(x^2 - 4)^3$. $f$ es cóncava hacia arriba en $(-\infty, -2)$ y $(2, \infty)$, y cóncava hacia abajo en $(-2, 2)$. La concavidad solo cambia en las asíntotas, donde $f$ no está definida, así que no hay puntos de inflexión.

**10.** Halla los puntos críticos:

$$f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 = 6(x + 2)(x - 1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = -2,\; x = 1$$

La segunda derivada es $f''(x) = 12x + 6$.

- $f''(-2) = -18 < 0$: máximo local, $f(-2) = -16 + 12 + 24 = 20$.
- $f''(1) = 18 > 0$: mínimo local, $f(1) = 2 + 3 - 12 = -7$.

**11.** Los puntos críticos son $x = 1$ y $x = -2$. El factor $(x - 1)^2$ nunca es negativo, así que el signo de $f'$ viene de $x + 2$. Pasa de $-$ a $+$ en $x = -2$, un mínimo local. En $x = 1$ el signo sigue siendo $+$ a ambos lados, así que ahí no hay extremo.

**12.** La derivada es

$$f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Nunca vale $0$, pero no está definida en $x = 0$, donde $f$ sí lo está. Así que $x = 0$ es un punto crítico. $f' < 0$ para $x < 0$ y $f' > 0$ para $x > 0$, así que $(0, 0)$ es un mínimo local. La pendiente tiende a $\pm\infty$ a cada lado, lo que forma una punta afilada llamada cúspide. La segunda derivada es $f''(x) = -\frac{2}{9}x^{-4/3}$, negativa para todo $x \ne 0$, así que la gráfica es cóncava hacia abajo a ambos lados.

## Errores comunes en estos ejercicios

- **Llamar extremo a todo punto crítico.** En los ejercicios 5 y 11, $f'$ se anula pero mantiene su signo, así que no hay máximo ni mínimo.
- **Olvidar los puntos donde $f'$ no está definida.** El ejercicio 12 no tiene solución de $f'(x) = 0$, pero aun así tiene un mínimo.
- **Contar una asíntota como punto de inflexión.** En el ejercicio 9 la concavidad cambia en $x = \pm 2$, pero $f$ no está definida ahí.
- **Dar solo el valor de $x$.** Un máximo o mínimo local es un punto. Da también $f(c)$, como en el ejercicio 3.

## Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan funciones fijas. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la [lección de puntos críticos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/critical-points), la [lección de crecimiento y decrecimiento](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/increasing-and-decreasing) y la [lección de la segunda derivada](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/second-derivative). Después aplica las mismas herramientas a problemas con enunciado en los [ejercicios de optimización](/practice-problems/optimization).

## Preguntas frecuentes

### ¿Cómo se halla dónde una función es creciente o decreciente?

Halla $f'(x)$ y sus puntos críticos, y después estudia el signo de $f'$ en cada intervalo entre ellos. Donde $f' > 0$ la función es creciente, y donde $f' < 0$ es decreciente.

### ¿Cómo se hallan los puntos de inflexión?

Halla dónde $f''(x) = 0$ o no está definida, y comprueba que $f''$ realmente cambia de signo ahí y que $f$ está definida en ese punto. $f''(x) = 0$ por sí solo no basta: $x^4$ cumple $f''(0) = 0$ pero no tiene punto de inflexión.

### ¿Qué diferencia hay entre el criterio de la primera y de la segunda derivada?

El criterio de la primera derivada mira el signo de $f'$ a cada lado de un punto crítico. El de la segunda derivada sustituye el punto crítico en $f''$: negativo significa máximo local, positivo significa mínimo local. Si $f''(c) = 0$, el segundo criterio no decide y usas el primero.